3. Необхідна і достатня ознаки зростання (спадання) функції

Функція f(x) називаэться зростаючою(спадною ) в точці , якщо існує окіл точки   який міститься в проміжку  і є такий, що    для всіх  і ) для всіх .

Необхідна ознака зростання (спадання) функції

Якщо диференційовна на деякому проміжку функція зростає(спадає) на цьому проміжку,то f’(x)>0(f’(x)<0)

Достатня ознака зротсання функції

Якщо f’(x)>0(f’(x)<0) для всіх х є (а;b), то функція зростає(спадає)на проміжку (a;b).

Теорема. Якщо функція  у внутрішній точці  має похідну  і , то функція  в точці зростає (спадає).

4.Метод безпосереднього інтегрування невизначених інтегралів

Метод безпосереднього інтегрування грунується на використанні табличних інтегралів, властивостей невизначеного інтеграла. Але в деяких випадках спочатку потрібно зробити алгебраїчні перетворення підінтегральної-ції.

5. Рівняння Бернуллі.

Звичайне диференціальне рівняння виду:

називається рівнянням Бернуллі (при n = 0 або n = 1 отримуємо неоднорідне або однорідне лінійне рівняння

Метод рішення

Перший спосіб

Розділимо всі члени рівняння на одержимо

Роблячи заміну і диференціюючи, отримуємо:

Це рівняння приводиться до лінійного:

і може бути вирішено методом Лагранжа (варіації постійної) або методом інтегруючого множника.

Другий спосіб

Замінимо

тоді:

Підберемо   так, щоб було

для цього достатньо вирішити рівняння з відокремлюваними змінними 1-го порядку. Після цього для визначення   отримуємо рівняння   - Рівняння з відокремлюваними змінними.

10.

1. Матричний метод розв’язяння СЛАР.Алгоритм розвязування матричним методом.

А*Х=В домножемо зліва на А в сепені -1,маємо А в степені -1*А*Х=А встепені -1*В,оскільки А в степені -1 *А=Е і Е*Х=Х,то Х=А в степені -1*В.

Алгоритм розв’язування системи матричним методом:

1.Перевірити виконання умови.

-система повинна бути неоднорідноб.

-кількість рівнянь повинна дорівнювати кількості невідомих.

-визначник основної матриці не дорівнює нулю.

2.Знайти матрицю А в степені -1,обернену до матриці А.

3.Знайти розвязок х ,шляхом множення матриці А в степені -1 на матрицю вільних членів В,тобто Х=А в степені-1*В.

2.Поняття числової послідовності: формула n-го члена,зростаюча,спадна,обмежена послідовність.Поняття границі числової послідовності.

Якщо кожному натуральному числу n є N за певним правилом ставиться у відповідність число , то множину чисел ,… наз. Числовою послідовністю і позначають симфолом { }.

Окремі числа ,… ,…. наз. членами числової послідовності : - перший член, - другий, - n-й або загальний член послідовності.

Геометрично послідовність зображається на числовій осі у вигляді послідовності точок, координати яких дорівнюють відповідним членам послідовності. Послідовність вважається заданою, якщо вказано спосіб знаходження її n-го члена. Найчастіше послідовність задається формулою n-го члена.

Очевидно, що довільна функція , задана на множині натуральних чисел N , визначає деяку числову послідовність { }, n=1,2 .., якщо .

Останню рівність наз. формулою n-го члена числової послідовності.

Послідовність{ }, наз. зростаючою послідовністю, якщо для будь-якого n виконується нерівність > ). Послідовність { }, наз. спадною, якщо для будь-якого якого n виконується нерівність < ). Усі такі послідовності наз. монотонними.

Послідовність{ }, наз. обмеженою, якщо існують такі числа m та М (m <М) , що для всіх n виконується нерівність m М.

Число границею числової послідовності { }, якщо для будь-якого числа >0(яке б мале воно не було) існує номер N ), що для всіх номерів n >N виконується нерівність .