1)Визначник -го порядку. Теорема Лапласа

Визначник н-го порядку дорівнює сумі добутків елементів будьякого рядка чи стовпчика на іх алгебраїчне доповнення.

Алгебраїчним доповненням(адюнтом) Аій з номерами ій визначника називається мінор цього елемента взятий із знаком + якщо сума номерів рядка і стовпчика число парне.

Мінором k-того порядку k є [1; n-1] називається визначник утворений з елементів, які стоять на перетені будь-яких k рядків і k товпчиків визначника.

2) . Різновиди рівняння прямої в просторі: канонічне, параметричні, за двома точками.

Рівняння F(х,у)=0 називається рівняння лінії на площині , якщо це рівняння задовольняє координати (х,у) будь-якої точки, що лежить на цій ліній , і не задовольняє координати жодної точки, що не лежить на цій лінії.

Канонічне – нехай відомі точка M ( прямої та її напрямний вектор , a M(x;y;z) – деяка змінна точка цієї прямої.

Параметричні рівняння прямої:

Якщо позначити через t спільне значення відношень канонічного рівняння прямої, то отримуємо параметричні рівняння

t- параметр

3) Похідні вищих порядків.

Вираз наз. диференціалом n-го порядку фу-ї f(x), то її n-им диференціалом. З формули випливає рівність , де , тобто похідна n-го порядку фу-ї f(x) є відношення до диференціалу аргумента в степені n.

4) Знаходження екстремуму функції кількох змінних

1.знаходять критичні точки функції f(x) , тобто точки ,f”(x)=0 в яких , або f’(x) не існує; Точка х0 називається точкою локального максимуму функції y=f(x)

, якщо для будь-яких досить малих дельта|x| не=0

виконується нерівність f(x0+дельта x)>fx0

Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму функції

, а значення функції в екстремальних точках – її екстремальними значеннями.

Необхідну ознаку локального екстремуму дає така теорема:

Теорема 1.Якщо функція

має в точці х0 локальний екстремум, то або f’(x0)=0

, або не існує.

5) Задачі Коші.

фОдночасне задання диференціального рівняння і відповідної кількості початкових умов називають задачею Коші.

Задачею Коші називають сумісне завдання диференціального рівняння та відповідної кількості початкових умов.

Для диф. рівняння першого порядку задачу Коші можна записати у вигляді

Для диф. рівняння другого порядку задачу Коші можна записати у вигляді

7 білет

1. Обернена матриця. Алгоритм оберненої матриці.

Оберненою для заданої квадратної матриці А називається така матриця А^-1,добуток якої на матрицю А як зліва ,так і з права дорівнює одиничній матриці ,тобто А*А^-1=А^-1*А=Е,де Е-одинична матриця такого порядку ,що і матриця А.

Алгоритм знаходження оберненої матриці:

1.Знайти визначник даної матриці А,detA не дорівнює 0.Якщо detA=0,то матриця особлива,і до неї оберненої не існує.

2.Знайти алгебраїчні доповнення Аij елементів aij матриці А.

3.Скласти приєднану матрицю А*.

4.Знайти обернену матрицю А^-1 за формулою:

А^-1=1/(detA)·A^*

5.Якщо потрібно ,то зробити перевірку використовуючи означення A^-1*A=A*A^-1=E.

Властивості оберненої матриці:

1. det(A^-1)=1/detA

2. (A*B)^-1=B^-1*A^-1

3. (A^T)^-1=(A^-1)^T

2.Еліпс: означення, рівняння, графік

Еліпсом називається геометричне місце точок площини, сума відстаней яких додвої заданих точок, які називають фокусами еліпса,є величиною сталою(позначимо її 2а). канонічне рівняння еліпса: х²/а²+y²/b²=1.Ексцентриситетом еліпса назив відношення відстані між фокусами еліпса до довжини його великої осі: ε=c/a. Директрисами еліпса назив дві прямі, перпендикулярні до фокальної осі еліпса(великої осі, на якій лежать фокуси еліпса), які розміщені симетрично відносно центра еліпса на відстані а/ ε від нього. Рівняння директрис еліпса: х=±а/ ε.

y

B_{1 b}

х

A₁ A₂

-a a

B_{2 -b}

3. Правило Лопіталя.

Нехай фу-ї f(x) і g(x) задовольняють наступні умови:

1) f(x) і g(x) диференційовані у деякому проколотому околі точки

2)

3) g’(x) ≠0 для будь-якого х з цього околу

4) існує , тоді існує . Теорема справедлива і для .

4. Невизначений інтеграл, основні властивості.

Сукупність усіх ревісних F(x)+С для заданої ф-ції f(x) називають невизначеним інтегралом і позначають ∫f(x)dx= F(x)+C ,де ∫-знак інтеграла, f(x)dx- підінтегральна ф-ція,х-змінна інтегрування, F(x)деяка первісна для f(x), С-довільна стала інтегрування.

Осн.властивості невизначеного інтеграла:

1)Диференціал невизначеного інтеграла = підінтегральному виразу, тобто d∫f(x)dx= f(x)dx.2)Невизначений інтеграл від диференціала ф-ції = підінтегральній ф-ції f(x)dx= f(x)+C.3) Сталий множник А можна винести за знак інтеграла ∫Аf(x)dx=А∫f(x)dx.4)Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченної кулькості ф-ції = тій самій алгебраїчній сумі невизначених інтегралів від кожногї із ф-цій –доданків, тобто: ∫[f(x)±g(x) ±k(x)]dx=∫f(x)dx± g(x)dx±∫k(x)dx.

5. Диференціальні рівняння другого порядку, що дозволяють знизити порядок.

У деяких випадках диференціальне рівняння другого порядку може бути зведено до послідовного розв’язання двох рівнянь першого порядку. Такі рівняння називають рівняннями, що допускають зниження порядку. Є декілька типів таких диференціальних рівнянь другого порядку.

Білет 8

1.Ранг матриці. Властивості рангу матриці. Елементарні перетворення матриці.

Рангом матриці A розмірність mXn називається найвищий порядок відмінного від нуля мінора утворенного з елементів матриці. Позначають ранг – r чи r(A)

Властивості:

1.ранг = 0 тільки якщо матриця нульова.

2.ранг прям. матриці не перевищує меншого із її розм.

3.для квадратної матриці н-го порядку ран.=н-го

лише у випадку коли матриця не особлива.

4.якщо ранг менше порядку то визначник даної квадратної матриці =0.

Елементарні перетворення:

1.перестановка місцями довільних рядків або стовпчиків.

2.транспонуванняя.

3.множення кожного елемента довільного рядка або стовпчика на число що не= 0.

2. Гіпербола: означення, рівняння, графік.

Г іперболою наз. множина точок площини, для яких модуль різниці відстаней від двох заданих точок (фокусів), є величина стала, яка дор. 2а і менша за відстань між фокусами.

B_{1 b}

у=+-b/a*x – асимптоти гіперболи. F₁A₁ А₂ F₂

АА1=2а дійсна вісь гіперболи

ВВ1=2в уявна вісь гіперболи -c -a а с

АА1 по х B_{2 -b}

Е=2с/2a=c/а екстренциситет

х=+-а/b директриса гіперболи

b2=c2-a2.