4)З означення диференціала функції випливає, що при достатньо малих і має місце наближена рівність

(2.6)

Оскільки повний приріст , рівність (2.6) можна переписати в наступному вигляді:

(2.7)

Формулою (2.7) користуються в наближених розрахунках.

Градієнт — це вектор з координатами , який характеризує напрям максимального зростання функції z - f(x,y) у точці Р₀ (х₀, у₀):

5) Диференціальні рівняння першого порядку. Основні поняття.

Рівняння вигляду F(x; y(x); y' (x))=0, яке містить похідну тільки першого порядку, називається диференціальним рівнянням першого порядку.Загальний розв‘язок диф. рівняння І порядку містить одну сталу.Задача Коші містить одну початкову умову .Частинний розв‘язок можна знайти, якщо в загальний розв‘язок підставити конкретне значення довільної сталої.З геометричної точки зору, загальний розв‘язок диф.рвіняння І порядку визначає на координатній площині сукупність інтегральних кривих. Частинному розв‘язку відповідає одна інтегральна крива з цієї сукупності.

Білет 3

1) Визначники квадратних матриць. Способи обчислення визначників.

Визначником або детермінантом матриці 2 порядку називається число, яке шукається за таким правилом:

За правилом трикутника та за правилом Салюса: до визначників 3 порядку дописуються 2 перших стовпчики , та шукаємо суму добутків елементів , які утворюють головну діагональ та утворюють прямі паралельні їй, та добутки елементів, що утворюють побічну діагональ та прямі паралельні побічній

2) Кут між площинами. Умови паралельності і перпендикулярності двох площин.

Двогранний кут  між площинами  і  дорівнюватиме ку- ту між векторами і , перпендикулярними до цих площин (рис. 2.21), тому

. (2.28)

Якщо площини взаємно перпендикулярні, то і, розкривши скалярний добуток у формулі (2.28), дістанемо умову перпендикулярності двох площин:

. (2.29)

Якщо площини  і  паралельні між собою, то їхні вектори і — колінеарні, а отже, відповідні координати пропорційні, і ми маємо умову паралельності двох площин

. (2.30)

За аналогією з формулою знаходження відстані від точки до прямої на площині можна записати формулу знаходження відстані від точки до площини . Вона набирає вигляду

.

4) Обчислення наближеного значення функції в точці за допомогою повного диференціала.

5) Диференціальні рівняння з відокремлюваннями змінними.

Рівяння виду y'= f₁ (x) + f₂ (у) ,де f₁ (x) і f₂ (у) - задані і неперервін на деякому інтервалі функції, називається диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними.

Права частина рівняння є добутком двох множників, кожен з яких є функцією лише однієї змінної.

Алгоритм розв'язування диф.рівняння:

• Згідно з еквівалентною формою запису похідної як відношення диференціалів функції і незалежної змінної у'= маємо

= f₁ (x) * f₂ (у);

• Відокремимо змінні, поділивши обидві сторони рівняння на

f₂ (у) та помноживши на.

• Проінтегруємо обидві частини рівняння, інтегруючи ліву частину по змінній у, а праву – по змінній х, знаходимо невизначені інтеграли, які відрізняються лише на сталу величину С.

• Якщо задано початкову умову, то знайдемо частинний розв'язок.

Білет 4