2. Правила диференціювання сталої, суми, добутку, частки функцій, та наслідки з них.

Правила диференціювання: . Похідна сталої дорівнює нулеві (сonst) = 0. Якщо u — будь-яка диференційовна функція від х і с — довільна стала, то (cu)  = cu. Якщо u та v — диференційовні функції від х, то їх сума u + v є диференційовною функцією: . Добуток двох диференційовних функ­цій u та v є диференційовною функцією

3. Екстремум функції, необхідна та достатня умови існування екстремуму.

Максимум та мінімум функції кількох змінних називають екстремумами функції, а точку , де ф-ція має екстремум називають точкою екстремуму ф-ції.

Необхідна умова існування екстремуму.

Для того, щоб точка була точкою екстремуму ф-ції, визначеної в околі цієї точки, необхідно, щоб похідна ф-ції в цій точці була рівна нулю або не існувала в цій точці .

Достатня умова існування екстремуму.

Нехай f (x) диференційована в околі критичної точки , за винятком, можливо, самої точки , в якій ф-ція f (x) є неперервною . Тоді:

5. Якщо при переході через точку похідна змінює знак з мінуса на плюс, то в точці ф-ція має мінімум.

6. Якщо при переході через точку похідна змінює знак з плюса на мінус, то в точці ф-ція має максимум.

7. Якщо при переході через точку похідна не змінює знак, то точка не є точкою екстремума ф-ції.

4. Невласний інтеграл з нескінченною нижньою межею.

Нехай т функція визначена на проміжку і є неперервною на будь-якому відрізку , де < . Тоді визначений інтеграл є функцією своєї нижньої межі. Невласним інтегралом першого роду функції на проміжку називають границю і записують . Якщо границі будуть існувати (дорівнюватимуть скінченому числу), то відповідні невласні інтеграли називається збіжними. Якщо ж границі не існують або дорівнюють нескінченності, то такі невласні інтеграли називаються розбіжними.

5. Ряд Тейлора.

Ряд Тейлора — розклад функції у нескінченну суму степеневих функцій.

– ряд Тейлора функції (Тейлор-англійський математик).

Теорема. Якщо функція в інтервалі розвивається у степеневий ряд, то це розвинення єдине і є рядом Тейлора функції .

Основні формули:

Білет №28

1. Визначник -го порядку. Теорема Лапласа.

Визначник н-го порядку дорівнює сумі добутків елементів будьякого рядка чи стовпчика на іх алгебраїчне доповнення.Алгебраїчним доповненням(адюнтом) Аій з номерами ій визначника називається мінор цього елемента взятий із знаком + якщо сума номерів рядка і стовпчика число парне.Мінором k-того порядку k є [1; n-1] називається визначник утворений з елементів, які стоять на перетені будь-яких k рядків і k товпчиків визначника.

2.Похідна сталої та функцій (доведення). Таблиця похідних

Похідною функції yf(x) за аргументом x називають границю відношення приросту функції до приросту аргументу , коли довільним образом прямує до нуля. Якщо ця границя існує, то її позначають через f (x) або yабо , або ,.

Теорема. Якщо функція y = f(x) диференційована в деякій точці x0 , то вона в цій точці неперервна.

1) Похідна постійної величини C дорівнює нулю,тобто C0

2) Якщо кожна з функцій u(x) та v(x) диференційована в точці x , то добуток цих функцій також має похідну в точці x , причому цю похідну знаходять за формулою

u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)

3) Якщо u(x) та v(x) мають похідні в точці x і v(x)0, то частка цих функцій також має похідну в точці x , яку знаходять за формулою

4)Якщо кожна із функцій f1 (x), f 2 (x),...,f n (x)

(n – скінченне число) диференційована в деякі точці x , то їх алгебраїчна сума також є диференційованою в цій точці, причому похідна алгебраїчної суми цих функцій дорівнює такій самій алгебраїчній сумі їх похідних.

3.Частинний приріст і ча стинні похідні першого порядку.

називається частинним приростом функції за змінною x.Аналогічно вводиться частинний приріст функції за змінною :

Якщо існує границя

,

то вона називається частинною похідною функції в точці за змінною x і позначається одним із таких символів:

.

Аналогічно частинна похідна функції за визначається як границя

і позначається одним із символів:

.

4.Відмінність між невласними інтегралами І та ІІ роду.

Визначений інтеграл існує лише при виконанні двох умов:

1) Щоб відрізок інтегрування був скінченим;

2) Щоб підінтегральна функція f(x) була неперервною.

Якщо не виконується хоча б одна з цих двох умов, то визначений інтеграл називається невласним, причому, якщо не виконується перша умова, то такий інтеграл називається невласним інтегралом І-го роду, а якщо ж не виконується друга умова, то такий інтеграл є ІІ-го роду.

5. Ряд Маклорена.

Такий ряд називається рядом Маклорена функці f(x).

(К.Маклорен (1698-1746 рр.)-шотландський математик)

Білет №29

1.Визначники. Властивості визначників.

Квадратній матриці А n-ого порядку можна поставити у відповідність число det A(або IAI,або дельта )яке називають визначником цієї матриці.

Властивості визначника.

Властивість 1: Визначник не змінюється при транспортуванні.

Властивість 2: Якщо один із рядків визначника складається з нулів, то такий визначник дорівнює нулю.

Властивість 3: Якщо поміняти місцями будь-які два рядки визначника, то йго знак змінюється на протилежний.

Властивість 4: Визначник, який має два однакові рядки, дорівнює нулю.

Властивість 5: Якщо елементи будь-якого рядка визначника помножити на стале число С, то і визначник помножиться на С.

Властивість 6: Визначник, який має два пропорційні рядки, дорівнює нулю.

Властивість 7: Якщо всі елементи будь якого рядка визначника можна подати у вигляді суми двох доданків, то визначник бкде дорівнювати сумі двох визначників, у яких елементами цього рядка будуть відповідно перший доданок в першому визначнику і другий доданок в другому визначнику.

Властивість 8: Визначник не змінюється, якщо до елементів будь-якого рядка додати відповідні елементи будь-якого іншого рядка, попередньо помножені не деяке число.