1. Записати рівняння прямої, яка проходить через точку з кутовим коефіцієнтом .

Точка В(0;b) і кут однозначно визначають пряму L на площині.

y=MC+CN=BCtg +b=xtg

Позначимо k= tg і одержимо шукане рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом у = kx+b, де k- кутовий коефіцієнт прямої, - це кут між прямою і додатним напрямом осі ОХ.

Відстань від точки до прямої

Відстань від точки до прямої L дорівнює довжині перпендикуляра M M , опущеного з точки M на пряму. Складемо рівняння прямої M M як рівняння прямої, що проходить через дану точку M (x ;y ) паралельно до даного вектора n(A;B):

, звідки В( )-А(y-y )=0

Координати точки M (x;у) як точки перетину прямих L і M M задовольняють рівняння обох прямих, тобто систему рівнянь

d= - відстань від точки М до прямої Ах +Ву +С=0.

2. Неперервність функції в точці: Застосування поняття неперервності при обчисленні границь функцій.

у = fx) називається неперервною в точ­ці х₀ функцією, якщо =f(x0)тобто виконуються 2 умови 1) f(x) визначена в точці х0(існує f(x))2)границя з ліва = границі з права і = значенню функції в цій точці .

3. Градієнт функції .

Вектор, який вказує напрям найшвидшого зростання функції z = f (x;y), називають градієнтом gradz = Модуль градієнта визначає швидкість зростання функції.Для функції u= f (x;y,z) градієнт знаходять за формулою:

4. Формула Ньютона-Лейбніца для обчислення визначених інтегралів.

Формула Ньютона-Лейбніца дає практичний і зручний метод

обчислення визначеного інтеграла в тому випадку, коли відома первісна

від підінтегральної функції. Тільки з відкриттям цієї формули визначений

інтеграл зміг отримати те значення в математиці, яке він має сьогодні.

Обчислення визначеного інтеграла як границю інтегральної суми були

відомі ще за часів Архімеда, проте застосування цього методу

обмежувалося тими простими випадками, коли вдавалося обчислити ці

границі. Формула Ньютона-Лейбніца встановлює простий зв’язок між

первісною та визначеним інтегралом, що значно розширює область

застосування визначеного інтеграла до різних задач техніки, механіки,

астрономії і т. д.

5. Інтегральна ознака Коші.

Нехай задано ряд , де неперервна, додатна і монотонно спадна функція на проміжку [1;). Тоді даний ряд та невласний інтеграл збігаються або розбігаються одночасно.

22. 1. Кут між двома прямими заданими канонічним рівнянням. Умови паралельності і перпендикулярності прямих.

Нехай прямі та задано канонічним рівняннями

, кут між цими прямими

cos

Якщо прямі та паралельні, то вектори S та S колінеарні, тому їхні координати пропорційні, то

- умова паралельності двох прямих

Якщо прямі та перпендикулярні, то вектори S та S перпендикулярні і їхній скалярний добуток =0 , m +n = 0 – умова перпендикулярності двох прямих.

2. Властивості функцій, неперервних у точці.

Якщо функції у = f(x) i y = g(x) — неперервні в точці х0. Тоді їх наведені далі комбінації також неперервні:1) f(x)  g(x); 2) f(x) g(x); 3) f(x) / g(x), g(x)  0.

Якщо функція у = f(x) неперервна в точці х₀ а функція u = F(y) неперервна в точці у0=f(x₀), то їх композиція u = F(f(x)) — неперервна в точці х₀.

Функція у = f(x) неперервна на проміжку (а, b), якщо вона неперервна в кожній точці цього проміжку.

Функція у = f(x) неперервна на відрізку [а, b], якщо вона неперервна на проміжку (а, b) і неперервна в точці х = а справа і в точці х = b зліва.

Т.Усі елементарні функції є неперервними на інтервалах їх визначення.

3. Частинні похідні вищих порядків. Теорема про рівність мішаних похідних.

Частинну похідну першого порядку по змінній від частинної похідної першого порядку по змінній називають частинною похідною другого порядку функції по змінній та і позначають:

п при , при k = m.

Теорема. Якщо функція z = f (x;y) та похідні неперервні в точці (х;у) та в деякому її околі, то в цій точці .

4. Метод безпосереднього інтегрування визначених інтегралів.

Цей метод базується на рівності , де а та b – сталі і застосовується у тих випадках, коли підінтегральна функція f має вигляд однієї із підінтегральних функцій таб­личних інтегралів, але її аргумент відрізняється від змінної інтегрування постійним доданком або постійним множником або постійним множником та постійним доданком

5. Знакопочережні ряди. Ознака Лейбніца.

Числовий ряд , члени якого мають довільні знаки, називаються знакозмінним рядом.

Частинним випадком знакозмінних числових рядів є ряд виду , знаки членів якого змінюються по черзі, який називається знакопочерговим рядом. Загальний член ряду , де , n=1,2,… .

Ознака Лейбніца(ознака збіжності знакопочергових рядів): нехай для знакопочергового числового ряду виконуються умови :

1)послідовність є не зростаючою,

2)границя загального члена ряду дорівнює 0,

Тоді даний ряд є збіжний.Якщо не виконується хоча б одна з умов ознаки Лейбніца, то ряд є розбіжним. Якщо знакопочерговий ряд збігається, то сума S цього ряду має той самий знак, що і перший член ряду і не перевищує його за абсолютною величиною, тобто 0<S. Якщо при обчисленні суми збіжного ряду обмежитися лише першими n членами,а решту відкинути, то похибка обчислення за абсолютною величиною не перевищуватиме першого з відкинутих членів ряду.