1) ,2) ,3) , Якщо .

Якщо існує то для довільного натурального m =

Питання 3 . Повний приріст і повний диференціал функції двох змінних.

Нехай маємо функцію двох змінних z = f (x;y). Якщо х та у мають одночасно приріст Δх та Δу, то різницю f (x+Δx; y+Δу) – f(x;y) називають повним приростом функції і позначають Δz = f (x+Δx; y+Δу) – f(x;y)

Головна лінійна відносно Δх та Δу частина повного приросту функції називається повним диференціалом:

dz = f´x(x,y) Δх + f´y(x,y) Δу

Питання 4 Інтегрування найпростіших раціональних дробів.

Інтеграли від найпростіших раціональних дробів І-го та П-го типів знаходять методом безпосереднього інтегрування. При інтегруванні найпростішого дробу Ш-го типу треба спочат-ку в знаменнику виділити повний квадрат, а потім той вираз, що під квадратом, замінити через нову змінну. Інтеграл від найпростішого дробу типу IV шляхом повторного інтегрування частинами зводять до інтеграла від найпростішого дро-бу типуIII.

Питання 5 . Гранична ознака порівняння.

Якщо задано два ряди з додатними членами і , причому існує скінченна границя То ряди одночасно є або збіжними, або розбіжними.

19 БІЛЕТ

1. Вивести рівняння прямої, що проходить через дві точки і рівняння прямої у відрізках на осях.

Рівняння прямої,що проходить через дві точки

Відомі координати двох точок на прямій L: М (x ) та М .

М М (х )

Рівняння прямої у відрізках на осях

Відомо,що пряма L відсікає на осях координат відрізки довжиною а і в

Точки перетину прямої L з осями координат: М

де а – довжина відрізка на осі ОХ , а в- ОУ.

2. Розкриття невизначеностей вигляду при застосуванні ірраціональних функцій та многочленів під час обчислення границь функцій.

1) Невизначеність виду :

а)

б)

Для функцій, які мають границю на нескінченності, залишаються справедливі всі сформульовані теореми.

2) Невизначеність виду ,задана відношенням двох многочленів:

Поділимо чисельник і знаменник дробу на , одержимо:

Отже, щоб розкрити невизначеність виду , задану відношенням двох многочленів, потрібно чисельник і знаменник поділити на найвищий степінь x цих многочленів.

3) Невизначеність виду , задана відношенням двох многочленів:

Розкладемо чисельник і знаменник на множники і скоротимо дріб на спільний множник (x-1):

Скорочення на (х-1) можливе тому, що при означенні границі Тобто при

3. Використання повного диференціала до наближених обчислень.

При досить малому прирості х аргументу х диференційованої функції f(x) приріст у функції у буде близький за своєю величиною до диференціала функції. Тому приріст функції можна наближено прирівнювати до диференціала функції або ,

якщо позначити х = х - х₀, то це ж рівняння приймає вигляд:

або . Таким чином, для значення де, близьких до х₀, функцію f (x) наближено можна замінити лінійною функцією. Геометричне це заміні ділянки кривої y=f(x), прилеглої до точки (x₀,f(x₀), відрізком дотичної до кривої в цій точці: Беручи значення х₀ = 0 і обмежуючись малими значеннями х, одержимо наближену формулу