5. Питання

Узагальнений гармонічний ряд

a+aq+aq2+…aqn-1+…= сума aqn-1 називаэться рядом геометричної прогресії

Т1 Геометрична прогресія є ряд збіжний при /q/ <1 і розбіжним про/ q/ >=1

Узагальнений гармонічний ряд є ряд де а> 0 1 + 1/2a+1/3a+…+ 1/na+..

Теорема 3 Узагальнений гармонычний ряд збыжний при а >1 і розбіжний а <=1

Білет 17

Питання 1

Векторний простір. Розклад вектора за базисом.

Упорядкована множина n дійсних чисел а1,а2,а3 наз. n-вимірним векторним простором R.

Система векторів наз. лінійно залежною, якщо існують такі числа х1,х2,х3,які одночасно не дорівнюють нулю,що виконується рівність: .

Якщо ця рівність можлива лише за умови,що , то вектори а1,а2… називається лінійно незалежними.

Базисом n-вимірного векторного простору R наз. будь-яка сукупність n лінійно незалежних векторів,через які лінійно виражається довільний вектор цього простору.

Максимальне число лінійно незалежних векторів простору називається його розмірністю.

Якщо вектори утворюють базис у просторі R,то довільний вектор а цього простору є лінійною комбінацією базисних векторів, тобто існують такі числа х , ,які одночасно не дорівнюють нулю,що виконується нерівність : а - розклад вектора за базисом.

Питання 2 Властивості ф-й, які мають границю в точці: єдність границі, граничний перехід у нерівності, границя проміжної ф-ції, обмеженість ф-ції в точці.

1)ф-ція не може мати двох різних границь в одній точці.

2)Якщо в деякому околі точки Хо,крім можливо самой точки Хо, виконується нерівність 0 і кожна з ф-цій та має границю в точці Хо, то .

3) Нехай в деякому околі точки Хо,крім можливо самой точки Хо, виконується нерівність

Якщо ф-ції та мають границю в точці Хо при чому , то ф-ція також має границю в цій точці і .

4)якщо ф-ція y= має в точці Хо границю, тобто , то y=f(x) – обмежена при Х Хо.

Питання 3 Частинний приріст і частинні похідні І-го порядку.

називається частинним приростом функції за змінною x.

Аналогічно вводиться частинний приріст функції за змінною :

Якщо існує границя

,

то вона називається частинною похідною функції в точці за змінною x і позначається одним із таких символів:

.

Аналогічно частинна похідна функції за визначається як границя

і позначається одним із символів:

.

Питання 4 Інтегрування найпростіших раціональних дробів.

Дріб називають раціональним, якщо його чисель-ник та знаменник е багаточленами.

Інтеграли від найпростіших раціональних дробів І-го та П-го типів знаходять методом безпосереднього інтегрування. При інтегруванні найпростішого дробу Ш-го типу треба спочат-ку в знаменнику виділити повний квадрат, а потім той вираз, що під квадратом, замінити через нову змінну. Інтеграл від найпростішого дробу типу IV шляхом повторного інтегрування частинами зводять до інтеграла від найпростішого дро-бу типуIII.

Будь-який правильний раціональний дріб розкла-дається на суму найпростіших раціональних дробів, коефіцієнти яких можна знайти методом невизначених коефіцієнтів.

Питання 5 Достатні ознаки збіжності додатних числових рядів. Ознака порівняння.

. Ознака порівняння.

Маємо 2 ряди:

Для членів яких виконується нерівність a_n≤b_n (для всіх n). Тоді якщо перший ряд збіжний, то і другий також збіжний.

Якщо перший ряд розбіжний, то і другий ряд також розбіжний.

БІЛЕТ 18

Питання 1

Канонічне та параметричне рівняння прямої.

Рівняння F(х,у)=0 називається рівняння лінії на площині , якщо це рівняння задовольняє координати (х,у) будь-якої точки, що лежить на цій ліній , і не задовольняє координати жодної точки, що не лежить на цій лінії.

Канонічне – нехай відомі точка M ( прямої та її напрямний вектор , a M(x;y;z) – деяка змінна точка цієї прямої.

Параметричні рівняння прямої:

Якщо позначити через t спільне значення відношень канонічного рівняння прямої, то отримуємо параметричні рівняння

t- параметр

Питання 2

Властивості границь функцій:границя сталої,суми,добутку,границя степеневої функції.

Т1 Якщо де с довільне число то .Т2 Якщо існують границі

то виконуються такі співвідношення: