22. Понятие устойчивости процессов регулирования.

Устойчивость – это способность системы возвращаться в исходное или переходить в новое равновесное состояние

Физическую сущность устойчивости можно понять на примере поведения шарика на различных поверхностях. Шарик, находящийся в углуб­лении (рис. а), образует устойчивую систему. Если к шарику приложить внешнее воздействие, то после снятия его шарик возвратится в исходное поло­жение, причем характер обратного движения шарика зависит от свойств си­стемы и может быть колебательным или апериодическим. Например, в воз­душной среде характер обратного движения будет колебательным, в более вяз­кой среде (вода, масло) характер обратного движения будет апериодическим. Системы, в которых тело занимает устойчивое положение в довольно боль­шой области перемещения, называются устойчивыми «в большом». Шарик, находящийся на горизонтальной поверхности (рис. 6), представляет ней­тральную систему. Движение и положение шарика зависят от характера внеш­него воздействия, после прекращения которого шарик занимает новое поло­жение. Шарик, находящийся на выпуклой поверхности (рис. в), представ­ляет неустойчивую систему; после приложения любого незначительного внеш­него воздействия шарик в исходное положение не возвращается.

С математической точки зрения возмущенное движение мож­но рассматривать как свободное движение системы после сня­тия возмущающих воздействий.

Свободное движение линейной АСР описывается линейным однородным дифференциальным уравнением

Необходимым и достаточным условием устой­чивости линейных АСР является отрицательность вещественных частей всех корней ее характеристического уравнения.

Необходимым условием устойчивости системы является по­ложительность всех коэффициентов ее характеристического урав­нения. Поэтому перед оценкой устойчивости системы следует убедиться в том, что все коэффициенты характеристического уравнения являются положительными числами.

При решении характеристических уравнений выше третьего порядка отыскание их корней представляет определенные слож­ности, а уравнения пятого порядка и более не имеют аналитиче­ского решения, поэтому для оценки устойчивости системы раз­работаны различные критерии, позволяющие без решения харак­теристического уравнения определить, все ли корни имеют от­рицательные вещественные части. Эти критерии применяются в зависимости от исходных характеристик и данных.

23. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица.

Критерий Рауса — Гурвица формируется следующим обра­зом: система с характеристическим уравнением будет устойчивой, если определитель Гурвица и все его диагональные миноры положительны, т. е.

.

При составлении определителя Гурвица вначале по диагона­ли располагают коэффициенты, начиная с а_n-1 до а_о

Затем определитель заполняют по столбцам: выше диагональ­ных записывают коэффициенты с убывающими индексами, ниже с возрастающими. При достижении нулевого или л-го индекса далее ставятся нули.

Каждый диагональный минор определителя Гурвица получа­ют один из другого путем вычеркивания нижней строки и право­го столбца.