17. Уравнение статики замкнутой аср.

В ТАР принята стандартная операторная (символическая) форма записи дифференциальных уравнений. Члены, содержащие выходную переменную у, записывают в левой части уравнения, а входную переменную х - в правой. При операторной форме записи вводится оператор р = d/dt. Умножение на оператор р соответствует дифференцированию, деление — интегрированию.

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка в операторной форме имеет вид

,

где х и у - функции времени.

Разделив обе части на а₀, получим стандартную форму записи уравнения:

(Т₂ ² р² + Т₁ р + 1)у(t) = К х(t),

где Т₂² ₌ a₂/a₀ ; Т₁ = a₁/a₀; К = b₀/a₀ .

Т₁ и Т₂ - постоянные времени, с, К - коэффициент передачи (усиления).

Установившийся режим описывается алгебраическим уравнением, получаемым из дифференциального уравнения, полагая р = 0

В установившемся режиме у = Кх.

18. Динамические свойства аср. Дифференциальное уравнение, передаточная функция, временная и частотные характеристики.

Дифференциальное уравнение системы (элемен та) определяет ее свойства в динамическом и установившемся режимах:

В ТАР принята стандартная операторная (символическая) форма записи дифференциальных уравнений. Члены, содержащие выходную переменную у, записывают в левой части уравнения, а входную переменную х - в правой. При операторной форме записи вводится оператор р = d/dt. Умножение на оператор р соответствует дифференцированию, деление — интегрированию.

Например, линейное дифференциальное уравнение второго порядка в операторной форме имеет вид

(а₂р² + а₁р + а₀) у(t) = b_ох(t),

где х и у - функции времени.

Разделив обе части на а₀, получим стандартную форму записи уравнения:

(Т₂ ² р² + Т₁ р + 1)у(t) = К х(t),

где Т₂² ₌ a₂/a₀ ; Т₁ = a₁/a₀; К = b₀/a₀ .

Т₁ и Т₂ - постоянные времени, с, К - коэффициент передачи (усиления).

Установившийся режим описывается алгебраическим уравнением, получаемым из дифференциального уравнения, полагая р = 0

В установившемся режиме у = Кх.

Реальные ОУ и другие элементы САР описываются нелинейным уравнениями, которые линеаризуют, т. е. заменяют линейным уравнениями. Линеаризованные уравнения удовлетворительно описывают реальный процесс при относительно небольших отклонениях режима работы системы от установившегося режима.

Для описания САР применяют две различные передаточные функ­ции - в операторной форме и в изображениях по Лапласу. Передаточной функцией W (р) называется отношение множителя (оператора) вход­ного воздействия к оператору выходного воздействия. Для рассмат­риваемого примера

W (р) = К/(Т₂ ² р² + Т₁ р + 1)

Передаточная функция, как и дифференциаль­ное уравнение, полностью определяют ее динамические свойства. Ди­намические свойства часто определяют ее переход­ной характеристикой.

Переходная характеристика — это графическое изображение реак­ции системы на единичное ступенчатое воздействие. Аналитическое выражение переходной характеристики обозначают h (t) и называют переходной функцией системы.

Единичное ступенчатое воздействие - это воздей­ствие, которое в начальный момент времени изменяется скачком от нулевого до единичного значения, а затем сохраняется постоянным.

К частотным характеристикам относятся амплитудно-фазовые (АФХ), амплитудно-частотные (АЧХ) и фазо-частотные (ФЧХ). Указанные характеристики могут быть получены экспериментально или расчетом использованием W (р).

По известной передаточной функции путем замены р = jω, где j=(-1)^0,5, можно определить комплексный коэффициент передач W(jω) т.е. W(jω) = W(р)

Комплексный коэффициент передачи - это векторная величина. При изменении частоты от - ∞ до + ∞ конец вектора W(jω) на комплексной плоскости опишет кривую, которую называют амплитудно фазовой характеристикой (АФХ) системы.

Зависимость модуля W (jω)) от частоты называют АЧХ, а фазы N(jω) от частоты - ФЧХ.

АФХ не зависит от времени и отображает связь амплитуды и фазы установившихся колебаний на выходе системы с параметрами входных колебаний при различных частотах. W(jω) как и W(р), в полной мере определяет динамические свойства системы.

19. Типовые динамические звенья и их характеристики: усилительное (пропорциональное) и инерционное (апериодическое)

При составлении математического описания системы целесообраз­но ориентироваться на типовые звенья.

Пропорциональное звено

Дифференциальное уравнение – у = kх

Передаточная функция – k

П

h

ереходная характеристика АФХ

i

К

К

τ

Апериодическое звено первого порядка

Дифференциальное уравнение – (Тр+1)у = kх

Передаточная функция – k/(Тр+1)

П

h

ереходная характеристика АФХ

ω = ∞ ω=0

К

τ

20. Типовые динамические звенья и их характеристики: интегрирующее и дифференцирующее.

Интегрирующее звено

Дифференциальное уравнение – ру = kх

Передаточная функция – k/р

П

h

ереходная характеристика АФХ

ω=∞

i

τ

α=arctang K

ω→0

τ

Дифференцирующее звено

Дифференциальное уравнение – у = kрх

Передаточная функция – k р

Переходная характеристика

Переходная характеристика АФХ

h

τ

21. Типовые динамические звенья и их характеристики: колебательное и запаздывающее.

Колебательное звено

Дифференциальное уравнение – (Т² р² +2ξТр+1)у = kх, где 0<ξ<1

Передаточная функция – k/( Т² р² +2ξТр+1)

Переходная характеристика

К

h

τ

АФХ

В ряде объектов и систем регулирования имеет место запаздыва­ние: выходной сигнал появляется спустя некоторое время после пос­тупления сигнала на вход объекта или системы. В связи с этим в ТАР вводится понятие звена с чистым запаздыванием (запаздывающего звена).

Выходная характеристика в запаздывающем звене точно повто­ряет входную величину, но с задержкой по времени τ. Уравнение за­паздывающего звена у (t) =x(t –τ_з).

Например, для конвейера длиной L, перемещающего груз со ско­ростью v, время запаздывания τ_з = L/v . Запаздывающее звено вос­производит входные колебания без искажения по форме, но с отста­ванием по фазе, равным φ= - ωτ_з.

Отставание по фазе тем больше, чем больше запаздывание и часто­та входных колебаний.