1.2. Исследование динамики дохода при различной динамике потребления
В
модели Харрода-Домара предполагается,
что динамика объёма потребления
задаётся экзогенно. Этот показатель
может считаться постоянным во времени,
расти с заданным постоянным темпом или
иметь какую-либо другую динамику.
Простейший
вариант модели получается, если считать
.
В этом случае все ресурсы экономики
направляются на инвестиции, в результате
чего могут быть определены максимальные
технически возможные темпы роста дохода
и модель, учитывая (1), (2) принимает
следующий вид:
(7)
Представив (7) в стандартном виде, получим:
.
(8)
Выражение (8) – однородное линейное дифференциальное уравнение, решение которого имеет вид:
.
(9)
Непрерывный
темп прироста равен
.
Это максимально возможный (технологический)
темп прироста дохода в рассматриваемой
экономической системе.
Рассмотрим три случая:
1)
Если
,
то получаем:
(10)
или, сделав перестановку членов уравнения, получим:
.
(11)
Это
- неоднородное линейное дифференциальное
уравнение и его частное решение имеет
вид:
.
Складывая частное решение уравнения
(11) с общим решением однородного уравнения
,
получаем его общее решение:
.
(12)
Подставив
в (12)
,
получим
,
следовательно, общее решение уравнения
(11) будет следующим:
.
(13)
Непрерывный
темп прироста дохода
для уравнения
(11) получим из следующего выражения:
.
(14)
Следовательно, непрерывный темп прироста дохода равен:
.
(15)
Он
составляет:
в начальный момент времени, при
.
С ростом
времени растет доход Y(t),
а потребление С(t)
= const.
В связи с этим v(t)
возрастая, стремится к
при
,
так как доход растёт, а постоянный объём
потребления составляет всё меньшую его
долю. Величина в скобках:
(16)
является
нормой накопления в момент времени
.
Темп прироста дохода пропорционален
этой величине, как и показателю приростной
капиталоотдачи b.
При прочих равных условиях рост нормы накопления пропорционально увеличивает темпы прироста дохода. Необходимо также отметить, что при C(0) = Y(0) непрерывный темп прироста дохода равен нулю и, следовательно, роста дохода вообще не происходит.
2)
При исследовании варианта модели с
показателем потребления
,
растущим с постоянным темпом
,
т.е.
дифференциальное уравнение модели
принимает вид:
(17)
Приведём данное уравнение к стандартному виду:
.
(18)
Это - неоднородное линейное дифференциальное уравнение. Решение этого уравнения имеет вид:
.
(19)
Согласно
экономическому смыслу ясно, что темп
прироста потребления
не должен быть больше максимально
возможного общего темпа прироста
.
Иначе потребление будет занимать всё
большую часть дохода, что сведёт к нулю
сначала инвестиции, а затем и доход. Это
также видно из формулы (19) решения модели.
Действительно, если
(например,
),
то коэффициент
отрицателен, а
растёт быстрее, чем
,
следовательно, отрицательное второе
слагаемое через некоторое время перевесит
первое.
При
,
вид решения в рассматриваемой модели
во многом зависит от соотношения между
показателями
и
.
Величина
- это норма накопления в начальный момент
времени
.
Значение
определяется по формуле (16):
(20)
Если
,
то темп прироста дохода равен темпу
прироста потребления. Норма накопления
в этом случае постоянна во времени и
равна
,
а темп прироста дохода пропорционален
норме накопления и обратно пропорционален
приростной капиталоёмкости. Именно эта
модификация модели экономического
роста, в которой постоянна норма
накопления, называется моделью
Харрода-Домара.
Если в
рассматриваемой модели
,
то темп прироста потребления оказывается
слишком высоким для экономики. В этом
случае коэффициент
в формуле (19) отрицателен, так как
,
и по той же причине первое отрицательное
слагаемое с ростом времени превысит
второе. Это приводит к тому, что темп
прироста дохода падает и становится с
некоторого момента отрицательным, а
через некоторое время и сам доход
становится равным нулю. После этого
модель теряет экономический смысл.
3) случай, когда Y(0) = C(0).
При этом, согласно формуле (20), величина . Следовательно, для модели Харрода-Домара r также будет равно нулю. В формуле (19) первое слагаемое станет равным нулю, а второе слагаемое будет равно Y(0) для всех значений t, т.е. Y(t) = Y(0) = const. Если же увеличивать величину темпа прироста потребления r, используя формулу:
,
(21)
где k – увеличивающий коэффициент, то при сохранении условия:Y(0) = C(0) имеем тот же результат.
Таким образом, для получения самоподдерживающегося роста дохода в модели Харрода-Домара необходимо в первоначальный момент иметь превышение дохода над потреблением и чем выше это превышение, тем выше темп прироста дохода.
Исходные данные приведены в таблице 1.
Таблица 1
B |
Y(0) |
C(0) 1 случай |
C(0) 2 случай |
C(0) 3 случай |
5,5 |
340 |
200 |
250 |
340 |