2.3.3. Числа с плавающей точкой (float)

Формат чисел с плавающей точкой используется для вещественных (дробных) чисел.

Табл.2.16. Форматы чисел с плавающей точкой в стандарте IEEE 754

Тип данных	Формат	Размер n, бит	Диапазон
float	Одинарная точность	32	3.4E-38 … 3.4E+38
double	Двойная точность	64	1.7E-308 … 1.7E+308
long double	Повышенная точность	80	3.4E-4932 … 3.4E+4932

Формат 32-разрядного двоичного числа с плавающей точкой приведен в табл2.17.

Табл.2.17. Структура 32-разрядного двоичного формата с плавающей точкой

31	30	29	28	27	26	25	24	23	22	21	20	19	18	17	16	15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
+/-	Смещенный порядок, 8 бит								Мантисса, 23 бита

Примечание: бит 31 – знак числа.

Пример: Представить положительное вещественное десятичное число +125,57₁₀ в 32-разрядном двоичном формате (float) с плавающей точкой.

Для представления положительного числа в формате с плавающей точкой выполняются следующие операции:

А) Перевод целой части десятичного числа: 125₁₀ = 1111101₂.

Б) Перевод дробной части десятичного числа: 0,57₁₀ = 0,10010001₂

В) Запись двоичного числа в формате с фиксированной точкой: 125,57₁₀ = 1111101,10010001₂.

Г) Нормализация числа c фиксированной точкой.

Нормализованное число – это число, записанное в экспоненциальном виде. Нормализация выполняется сдвигом точки (запятой) вправо или влево до позиции, в которой в целой части остается одна значащая единица. В результате получается нормализованное двоичное число с порядком:

1111101,10010001₂ = 1,11110110010001₂ ∙ 2⁶ (порядок числа равен 6).

Д) Определение знака, мантиссы и смещенного порядка

• Знак числа 125,57₁₀ положительный, поэтому в знаковом 31-ом разряде записывается 0 (ноль).

• Мантисса представляет собой дробную часть нормализованного числа: 11110110010001 (целая часть нормализованного числа не записывается и не сохраняется в памяти).

• Смещенный порядок определяется как сумма нулевого смещенного порядка и порядка нормализованного числа.

В стандарте IEEE 754 нулевой смещенный порядок равен 127₁₀ = 0111 1111₂.

Порядок нормализованного числа равен 6₁₀.

Рассчитываем смещенный порядок: 127₁₀ + 6₁₀ = 133₁₀.

Получаем шестой смещенный порядок равный 133₁₀ = 1000 0101₂.

Е) Запись нормализованного числа в формате с плавающей точкой приведена в табл.2.18.1.

Табл.2.18.1. Число 125,57₁₀ в формате с плавающей точкой

0	1	0	0	0	0	1	0	1	1	1	1	1	0	0	1	1	0	0	1	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	0
+	смещенный порядок								мантисса

Ответ: десятичное число 125,57₁₀ в формате с плавающей точкой имеет вид:

0 10000101 11110011001000111100000₂.

Пример: Представить отрицательное вещественное десятичное число -125,57₁₀ в 32-разрядном двоичном формате (float) с плавающей точкой. Отрицательные числа с плавающей точкой представляются прямым кодом:

Для представления отрицательного числа в формате с плавающей точкой выполняются следующие операции:

А) Перевод целой части десятичного числа, взятого по модулю: [125₁₀] = 1111101₂.

Б) Перевод дробной части десятичного числа, взятого по модулю: [0,57₁₀] = 0,10010001₂

В) Запись двоичного числа в формате с фиксированной точкой: 125,57₁₀ = 1111101,10010001₂.

Г) Нормализация числа c фиксированной точкой.

Нормализованное число – это число, записанное в экспоненциальном виде. Нормализация выполняется сдвигом точки (запятой) вправо или влево до позиции, в которой в целой части остается одна значащая единица. В результате получается нормализованное двоичное число с порядком:

1111101,10010001₂ = 1,11110110010001₂ ∙ 2⁶ (порядок числа равен 6).

Д) Определение знака, мантиссы и смещенного порядка

• Знак числа -125,57₁₀ отрицательный, поэтому в знаковом 31-ом разряде записывается 1 (единица).

• Мантисса представляет собой дробную часть нормализованного числа: 11110110010001 (целая часть нормализованного числа не записывается и не сохраняется в памяти).

• Смещенный порядок определяется как сумма нулевого смещенного порядка и порядка нормализованного числа.

В стандарте IEEE 754 нулевой смещенный порядок равен 127₁₀ = 0111 1111₂.

Порядок нормализованного числа равен 6₁₀.

Рассчитываем смещенный порядок: 127₁₀ + 6₁₀ = 133₁₀.

Получаем шестой смещенный порядок равный 133₁₀ = 1000 0101₂.

Е) Запись нормализованного числа в формате с плавающей точкой приведена в табл.2.18.2.

Табл.2.18.2. Число -125,57₁₀ в формате с плавающей точкой

1	1	0	0	0	0	1	0	1	1	1	1	1	0	0	1	1	0	0	1	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	0
-	смещенный порядок								мантисса

Ответ: десятичное число -125,57₁₀ в формате с плавающей точкой имеет вид:

1 10000101 11110011001000111100000₂.