2.2. Перевод из одной системы счисления в другую

2.2.1. Перевод целого десятичного числа в двоичную систему счисления

Перевод целого десятичного числа в двоичную систему счисления производят последовательным делением десятичного числа на основание двоичной системы счисления р=2.

Перевод выполняется по следующему правилу:

1. Разделить исходное десятичное число на 2.

2. Найти частное от деления.

3. Вычислить остаток, который является символом младшего 0-го разряда двоичного числа.

4. Разделить полученное частное от деления на 2.

5. Найти новое частное от деления.

6. Вычислить новый остаток, который является символом следующего разряда двоичного числа.

7. Проверить частное от деления:

- если частное от деления больше единицы, то перейти к пункту 4;

- если частное от деления равно единице, то перейти к пункту 8.

8. Частное от деления, равное единице, является старшим значащим разрядом двоичного числа.

Пример: Перевести целое десятичное число 125₁₀ в двоичную систему счисления.

Порядок перевода приведен в таблице 2.1.1.

Табл.2.9. Перевод десятичного числа 125₁₀ в двоичную систему счисления

№	Деление	Частное от деления	Вычисление остатка	Остаток	Комментарий
1	125 : 2	62	125 - (622)	1	0-й (младший) разряд
2	62 : 2	31	62 – (312)	0	1-й разряд
3	31 :2	15	31 – (152)	1	2-й разряд
4	15 : 2	7	15 – (72)	1	3-й разряд
5	7 :2	3	7 - (32)	1	4-й разряд
6	3 : 2	1	3 - (12)	1	5-й разряд
7	1 :2	0	1	1	6-й старший значащий разряд

После перевода в столбике «Остаток» будет записано двоичное число, которое необходимо переписать в строчку снизу вверх слева направо, начиная со старшего значащего разряда.

Ответ: 125₁₀ = 1111101₂.

2.2.2. Перевод целого двоичного числа в десятичную систему счисления

Перевод целого двоичного числа в десятичную систему счисления выполняется счисления по формуле степенного ряда a_n-1р^n-1 + a_n-2р^n-2 + . . . + a₁р¹ + a₀р⁰ , где р=2. Перевод выполняется в следующей последовательности:

1. Записать формулу степенного ряда с учетом разрядности числа n.

2. Подставить в формулу значение битов двоичного числа.

3. Вычислить сумму членов степенного ряда.

4. Полученная сумма является десятичным эквивалентом двоичного числа.

Пример: Перевести двоичное число 1111101₂ в десятичную систему счисления. Для данного двоичного числа составляем степенной ряд, который будет использоваться для вычислений:

a₆р⁶ + a₅р⁵ + a₄р⁴ + a₃р³ + a₂р² + a₁р¹ + a₀р⁰ , где р=2.

Табл.2.10. Соответствие номера разряда и значения бита двоичного числа

Номер бита, i	6	5	4	3	2	1	0
Бит ai	a6	a5	a4	a3	a2	a1	a0
Значение бита ai	1	1	1	1	1	0	1

Подставляем в формулу значение битов a_i и основание системы счисления р=2

1111101₂ = 1·2⁶ + 1·2⁵ +1·2⁴ + 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = 64+32+16+8+4+0+1 = 125₁₀.

Ответ: 1111101₂ = 125₁₀.

2.2.3. Перевод целого двоичного числа в десятичную систему счисления суммированием весов единичных разрядов.

Перевод выполняется в следующей последовательности:

1. Найти в двоичном числе разряды (биты), равные единице.

2. Определить веса найденных единичных разрядов рⁱ.

3. Сложить все веса единичных разрядов.

Пример: перевести двоичное число 1111101₂ в десятичную систему счисления.

Табл.2.11. Таблица соответствия номера разряда и веса разряда двоичного числа

Номер бита, i	6	5	4	3	2	1	0
Вес бита, i	64	32	16	8	4	2	1
Значение бита ai	1	1	1	1	1	0	1
Вес единичного бита	64	32	16	8	4	0	1

Складываем веса единичных (6, 5, 4, 3, 2 и 0)- разрядов: 64+32+16+8+4+0+1 = 125₁₀.

Ответ: 1111101₂= 125₁₀.