Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
КП Арифметика ТЕОРИЯ_v4 2012-весна.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
04.09.2019
Размер:
752.13 Кб
Скачать

37

2. Арифметические основы микропроцессорной техники

2.1. Системы счисления

Системой счисления называется совокупность правил записи чисел с помощью символов. Различают непозиционные (римские цифры) и позиционные (десятичная, двоичная и др.) системы счисления. Наиболее часто используются позиционные системы счисления, т.к. они позволяют выполнять арифметические операции.

Каждая позиционная система счисления характеризуется основанием. Основание системы счисления «р»  это количество символов, которое используется для изображения чисел.

В любой позиционной системе счисления целое число может быть представлено в двух формах записи:

  1. В виде последовательности символов an-1 an-2 . . . a1 a0 ,

  2. В виде степенного ряда =

= an-1рn-1 + an-2рn-2 + . . . + a1р1 + a0р0 = an-1qn-1 + an-2qn-2 + . . . + a1q1 + a0q0 .

где an-1 - символ старшего разряда; a0 - символ младшего разряда; ai – символ i-го разряда; i – номер разряда (i = n-1, n-2, … 1, 0); n – количество разрядов числа; р – основание системы счисления; рi = qi – вес i-го разряда.

В позиционных системах счисления номера символов увеличиваются справа налево от младшего нулевого разряда до старшего (n-1)-разряда. В позиционных системах счисления значение символа зависит от его позиции в числе. Все разряды числа отличаются друг от друга весом или весовым коэффициентом qi=pi. Веса разрядов увеличиваются справа налево (от младшего к старшему) в «р»-раз.

В человеческой деятельности обычно используется десятичная система счисления.

Десятичная или децимальная (decimal, dec) система счисления имеет основание десять (р=10). Любое число записывается с помощью десяти символов (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Табл.2.1. Веса разрядов восьмиразрядного десятичного целого числа

Номер разряда

7

6

5

4

3

2

1

0

Вес разряда

107

106

105

104

103

102

101

100

Вес разряда

10000000

1000000

100000

10000

1000

100

10

1

Для отличия одной системы счисления от другой справа пишется символ, равный основанию 12510. Пример записи десятичного числа: 12510.

Пример записи десятичного числа:

  • в виде последовательности символов 125;

  • в виде степенного ряда 1·102 + 2·101 + 5·100 = 100 + 20 + 5.

В вычислительной технике для хранения, обработки и передачи информации (адресов, команд и данных) используется двоичная система счисления.

Двоичная или бинарная (binary, bin) система счисления имеет основание два (р=2). Любое число записывается с помощью двух символов (цифр): 0, 1. Эти двоичные цифры названы битами (bit от binary digit). Для идентификации двоичных чисел используются следующие способы: 11012, 1101bin, 1101b, 0b1101.

Табл.2.2. Веса разрядов восьмиразрядного двоичного целого числа

Номер разряда

7

6

5

4

3

2

1

0

Вес разряда

27

26

25

24

23

22

21

20

Вес разряда

128

64

32

16

8

4

2

1

Пример записи двоичного целого числа:

  • в виде последовательности символов 1112;

  • в виде степенного ряда 1·(102)2 + 1·(102)1 + 1·(102)0 = 1002 + 102 + 12 (показатель степени для удобства приведен в десятичной системе счисления).

Цифровая и микропроцессорная техника строится в ИС ТТЛ (интегральные схемы транзисторно-транзисторной логики) и ИС КМОП (интегральные схемы комплементарные-металл-оксидные-полупроводниковые).

Напряжение питания ИС ТТЛ равно Uпит = +5,0 B. Уровни логических сигналов (биты) ИС ТТЛ на физическом уровне представляются напряжением питания Uпит в диапазоне от 0 до +5 В:

1. Биту, имеющему значение ноль (логический ноль, Low), соответствует напряжение низкого уровня U0 = (0 … +0,4) В.

2. Биту, имеющему значение единица (логическая единица, High) , соответствует напряжение высокого уровня U1 = (+2,4 В … +5,0) B.

Для питания различных ИС КМОП могут использоваться напряжения питания Uпит в диапазоне от 3,3 В до +15 В. Уровни логических сигналов (биты) ИС КМОП на физическом уровне представляются напряжением питания Uпит в диапазоне от 0 до + Uпит:

1. Биту, имеющему значение ноль (логический ноль, Low), соответствует напряжение низкого уровня U0 = (0 … +0,3∙Uпит) В.

2. Биту, имеющему значение единица (логическая единица, High) , соответствует напряжение высокого уровня U1 = (+0,99∙Uпит … Uпит) В.

В современных микропроцессорах, построенных на микросхемах КМОП, используется напряжение питания Uпит = 3,3 В и ниже.

Достоинства двоичной системы счисления:

  1. Простота технической реализации цифровых элементов, используемых для построения вычислительной системы.

2) Высокая скорость обработки данных.

Недостатки двоичной системы счисления:

1) Трудность запоминания человеком двоичных чисел.

2) Большая разрядность двоичных чисел, по сравнению с другими системами счисления.

Для компактной записи двоичных чисел используются шестнадцатеричные числа.

Шестнадцатеричная или гексадецимальная (hexadecimal) система счисления имеет основание шестнадцать (р=2n=16, где n = 4 двоичных бита для записи каждого шестнадцатеричного символа). Для записи числа используются шестнадцать символов (цифр и букв): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Значение каждой прописной буквы латинского алфавита буквы A, B, C, D, E, F соответствует десятичным числам 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Каждый шестнадцатеричный символ может быть представлен единственным сочетанием четырех бит (тетрадой). Тетрада может принимать 24=16 значений (от 010 до 1510 или от 016 до F16). Шестнадцатеричная система используется для кодирования двоичных чисел, разрядность которых кратна четырем (4, 8, 16 и т.д.). Пример записи шестнадцатеричного числа: А516, А5hex, А5h, $А5, 0xА5.

Табл.2.4. Веса разрядов восьмиразрядного шестнадцатеричного целого числа

Номер разряда

7

6

5

4

3

2

1

0

Вес разряда

167

166

165

164

163

162

161

160

Вес разряда

268435456

16777216

1048576

65536

4096

256

16

1

В таблице 2.5 представлены последовательности целых чисел, записанных в различных системах счисления.

Табл.2.5. Последовательности целых чисел в разных системах счисления

Dec

Bin

Hex

Dec

Bin

Hex

Dec

Bin

Hex

Dec

Bin

Hex

0

1

2

3

0000

0001

0010

0011

0

1

2

3

4

5

6

7

0100

0101

0110

0111

4

5

6

7

8

9

10

11

1000

1001

1010

1011

8

9

A

В

12

13

14

15

1100

1101

1110

1111

C

D

E

F

Шестнадцатеричные числа имеют следующие преимущества перед двоичными и десятичными:

1. Шестнадцатеричное число дает более компактную запись двоичного числа.

2. Шестнадцатеричное число имеет более упорядоченную форму записи по сравнению с десятичным числом, способствующую лучшему запоминанию.

Табл.2.6. Сравнительная характеристика различных систем счисления

Разрядность двоичного числа, n

Максимальное значение n-разрядного числа (2n-1)

Двоичное

Десятичное

Шестнадцатеричное

4

1111

15

F

8

1111 1111

255

FF

12

1111 1111 1111

4095

FFF

16

1111 1111 1111 1111

65535

FFFF

20

1111 1111 1111 1111 1111

1048575

FFFFF

В любой позиционной системе счисления вещественное число может быть представлено в двух формах записи:

1. В виде последовательности символов an-1 an-2 . . . a1 a0 , a-1 a-2 …a-(m-1) a-m,

2. В виде степенного ряда =

= an-1рn-1 + an-2рn-2 + . . . + a1р1 + a0р0 + a-1р-1 + a-2р-2 + … + a-(m-1)р-(m-1) + a-mр-m =

= an-1qn-1 + an-2qn-2 + . . . + a1q1 + a0q0 + a-1q-1 + a-2q-2 + … + a-(m-1)q-(m-1) + a-mq-m .

где ai – значение символа i-го разряда; i – номер разряда (i = n-1, n-2, … 1, 0, -1, -2 …, -m+1, -m); р – основание системы счисления; qi – вес i-го разряда (qii); n – количество разрядов целой части вещественного числа; m – количество разрядов дробной части вещественного числа.

Пример записи десятичного вещественного числа:

  • в виде последовательности символов 125,87510;

  • в виде степенного ряда

1·102 + 2·101 + 5·100 + 8·10-1 + 7·10-2 + 5·10-3 = 10010 + 2010 + 510 + 0,810 + 0,0710. + 0,00510

Табл.2.7. Веса разрядов восьмиразрядного десятичного дробного числа

Номер разряда

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

Вес разряда

10-1

10-2

10-3

10-4

10-5

10-6

10-7

10-8

Вес разряда

0,1

0,01

0,001

0,0001

0,00001

0,000001

0,0000001

0,00000001

Пример записи двоичного вещественного числа:

  • в виде последовательности символов 1111101,1112;

  • в виде степенного ряда

1·(102)6 + 1·(102)5 + 1·(102)4 + 1·(102)3 + 1·(102)2 + 0·(102)1 + 1·(102)0 + 1·(102)-1 + 1·(102)-2 + 1·(102)-2 =

10000002 + 1000002 + 100002 + 10002 + 1002 + 02 + 12 + 0,12 + 0,012 + 0,0012

(показатель степени для удобства приведен в десятичной системе счисления).

Табл.2.8. Веса разрядов восьмиразрядного двоичного дробного числа

Номер разряда

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

Вес разряда

2-1

2-2

2-3

2-4

2-5

2-6

2-7

2-8

Вес разряда

1/2

1/4

1/8

1/16

1/32

1/64

1/128

1/256

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.