2.2.8. Перевод дробного двоичного числа в десятичную систему счисления

Перевод дробного двоичного числа в десятичную систему счисления по формуле степенного ряда a_-1р^-1 + a_-2р^-2 + … + a_-(m-1)р^-(m-1) + a_-mр^-m (р=2).

Пример: перевести двоичное число 0,10010001₂ в десятичную систему счисления.

Основание системы счисления р=2, а m=8 (дано 8 знаков после запятой)

a_-1р^-1+a_-2р^-2+a_-3р^-3+a_-4р^-4+a_-5р^-5+a_-6р^-6+a_-7р^-7+a_-8р^-8

Подставляем в формулу значение разряда, основание системы счисления и номер разряда

0,10010001₂=12^-1+02^-2+02^-3+12^-4+02^-5+02^-6+02^-7+12^-8=1/2+0+0+1/16+0+0+0+1/256=0,5698₁₀

Ответ: 0,10010001₂ = 0,5698₁₀ ≈ 0,57₁₀.

2.2.9. Проверка погрешности представления дробного десятичного числа

Относительная погрешность δ рассчитывается по формуле:

δ = (Х_и-Х_в)/ Х_и *100 %, где Х_и - исходное десятичное число; Х_в - восстановленное десятичное число (переведенное из двоичной системы в десятичную систему).

Пример: исходное значение дробного десятичного числа равно 0,57₁₀. Дробное двоичное число, полученное переводом числа 0,57₁₀ с точностью до восьмого разряда, равно 0,10010001₂. Восстановленное дробное десятичное число из 0,10010001₂ равно 0,5698₁₀

δ = (0,57 - 0,5698)/ 0,57*100 % = 0,035 %.

Ответ: Относительная погрешность представления равна δ =0,035 %.

2.2.10. Двоичная арифметика

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами сложения, вычитания и умножения. Правила арифметики во всех позиционных системах аналогичны.

Арифметическое сложение одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам:

0 + 0 = 0₂; 0 + 1 = 1₂; 1 + 0 = 1₂; 1 + 1 = 10₂; 1 + 1 + 1 = 11₂.

При сложении двух и трех единиц в двоичном разряде происходит перенос единицы (1) из текущего бита в следующий разряд (левый, более старший разряд). Перенесенная единица может складываться с битами следующего разряда.

Арифметическое вычитание одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам:

0 - 0 = 0₂; 0 - 1 = 1₂; 1 - 0 = 1₂; 1 - 1 = 0₂.

При вычитании 0 - 1 = 1₂ производится заем в текущий бит.

Арифметическое умножение одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам:

0 × 0 = 0₂; 0 × 1 = 0₂; 1 × 0 = 0₂; 1 × 1 = 0₂.

Арифметическое сложение, вычитание, умножение и деление многоразрядных двоичных чисел будет рассмотрено ниже.

2.3. Представление информации в вычислительно технике

Минимальной единицей информации является один бит (один двоичный разряд). В вычислительной технике двоичные числа не зависимо от своего значения имеют фиксированную длину, называемую разрядной сеткой. Разрядность сетки может составлять 8, 16, 32, 64, 128 бит. Обычно разрядность сетки соответствует разрядности рабочих регистров микропроцессора. Информационные единицы, записанные в соответствующих разрядных сетках, имеют следующие названия:

1. Байт = 8 бит.

2. Слово = 2 байта = 16 бит.

3. Двойное слово = 2 слова = 4 байта = 32 бита.

4. Четверное слово = 4 слова = 8 байт = 64 бита.

Двоичное число, полученное при переводе из десятичной системы счисления, может иметь произвольное количество разрядов, поэтому его необходимо выровнять по границе заданной разрядной сетки.

Запись двоичного числа в восьмиразрядной сетке выполняется в следующей последовательности:

1. Определить количество разрядов двоичного числа.

2. Дописать слева нули, чтобы общее количество разрядов было равно восьми.

Запись двоичного числа в шестнадцатиразрядной сетке выполняется в следующей последовательности:

1. Определить количество разрядов двоичного числа.

2. Дописать слева нули, чтобы общее количество разрядов было равно шестнадцати.

Если количество полученных при переводе разрядов двоичного числа больше длины разрядной сетки, то данное число не входит в заданный диапазон.

При проектировании вычислительных устройств выбирается способ представления в машине положительных и отрицательных чисел. Для представления положительных двоичных чисел в машине применяют обычный (натуральный) код. Для представления отрицательных двоичных чисел в машине применяют специальные коды: прямой, обратный, дополнительный и смещенный коды.

Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах соответствуют натуральному, а отрицательные имеют различный вид. В этих кодах предусматривается старший (левый) разряд сетки для представления знака числа, причем знак «+» кодируется цифрой 0, а знак - цифрой 1.

Изменение знака числа с плюса на минус выполняется следующим образом:

1. Прямой код: в знаковом разряде натурального числа ноль заменяется на единицу.

2. Обратный код:

2.а. В знаковом разряде натурального числа ноль заменяется на единицу.

2.б. В остальных разрядах выполняется поразрядная инверсия (все нули заменяются на единицы, а единицы – на нули).

3. Дополнительный код:

3.а. В знаковом разряде натурального числа ноль заменяется на единицу.

3.б. В остальных разрядах выполняется поразрядная инверсия.

3.в. К полученному двоичному числу прибавляется единица по правилам арифметического сложения.

Изменение знака числа с минуса на плюс выполняется следующим образом:

4. Прямой код: в знаковом разряде натурального числа единица заменяется на ноль.

5. Обратный код:

2.а. В знаковом разряде натурального числа единица заменяется на ноль.

2.б. В остальных разрядах выполняется поразрядная инверсия (все нули заменяются на единицы, а единицы – на нули).

6. Дополнительный код:

3.а. В знаковом разряде натурального числа единица заменяется на ноль.

3.б. В остальных разрядах выполняется поразрядная инверсия.

3.в. К полученному двоичному числу прибавляется единица по правилам арифметического сложения.

Натуральный двоичный код положительного десятичного числа +1₁₀ равен 00000001₂. В таблице приведены прямой, обратный и дополнительные коды отрицательного числа -1₁₀.

Табл. Прямой, обратный и дополнительные коды числа -1₁₀

Прямой код числа -110	100000012
Обратный код числа -110	111111102
Дополнительный код числа -110	111111112

Смещенный код используется в вычислительной машине для упрощения операций вычисления и сравнения над положительными и отрицательными порядками дробных чисел (чисел с плавающей точкой). Смещенный порядок вычисляется как сумма порядка числа с константой (смещением). Константа представляет собой значение смещенного нулевого порядка (обычно 127₁₀ или 1023₁₀).

В таблице приведены примеры вычисления положительного и отрицательного порядков.

Табл. Порядок определения смещенного кода

Константа	Порядок	Смещенный порядок	Результат
12710 = 011111112	010	12710 + 010 = 12710 = 011111112	Смещенный нулевой порядок
12710 = 011111112	+110	12710 + 110 = 12810 = 100000002	Смещенный +1-ый порядок
12710 = 011111112	-110	12710 + (- 110) = 12610 = 011111102	Смещенный -1-ый порядок

В вычислительной технике используются следующие форматы данных, которые могут храниться указанных в различных разрядных сетках:

1. Целые числа без знака (unsigned).

2. Целые числа со знаком (signed).

3. Числа с плавающей точкой (float).

4. Символьные данные (char).

5. Двоично-десятичные числа (BCD).