2.3.5.2. Представление десятичного числа в двоично-десятичном неупакованном формате

В неупакованном формате двоично-десятичного кода каждый байт содержит один разряд десятичного числа. Перевод целого десятичного числа в двоично-десятичную систему счи­сления (неупакованный формат) производится по правилу: каждая десятичная цифра (от 0 до 9) преобразуется в двоично-десятичный эквивалент из четырех бит (от 0000 до 1001) и записывается в младшую тетраду байта.

Пример: 29₁₀=(2) (9)=0000 0010 0000 1001_2-10 (число 29 в неупакованном формате).

2.3.5.3. Перевод bcd упакованного формата в десятичное число

Перевод двоично-десятичного упакованного числа в десятичную систему счисления производится по правилу:

каждые четыре бита (младшая и старшая тетрада) переводятся в десятичный символ с помощью степенного ряда.

Пример: 0010 1001_2-10 = (0010) (1001)=(02³ + 02² + 12¹ + 02⁰) (12³ + 02² + 02¹ + 12⁰) = 29₁₀.

2.3.5.4. Перевод bcd неупакованного формата в десятичное число

Перевод двоично-десятичного неупакованного числа в десятичную систему счисления производится по правилу:

четыре младших бита байта (младшая тетрада) переводятся в десятичный символ с помощью степенного ряда.

Пример: 0000 0010 0000 1001_2-10 = (0+0+0+0 + 0+0+2+0) (0+0+0+0 + 8+0+0+1) = 29₁₀.

2.4. Арифметические операции

Арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления основаны на общих правилах, применяемых в позиционных си­стемах счисления.

2.4.1. Арифметическое сложение

2.4.1.1. Арифметическое сложение двоичных чисел

Арифметическое сложение двоичных чисел выполняется по следующим правилам:

0 + 0 = 0₂; 0 + 1 = 1₂; 1 + 0 = 1₂; 1 + 1 = 10₂; 1 + 1 + 1 = 11₂.

Сложение двух чисел в двоичной системе выполняется столбиком, справа налево, начиная с младшего (правого) разряда, как в десятичной системе. В каждом разряде в соответствии с правилами, указанными таблицей двоичного сложения, производится сложение двух бит слагаемых или этих двух бит и единицы, если имеется перенос из соседнего (правого) младшего разряда. В результате получается цифра соответствующего разряда суммы и, возможно, также единица переноса в соседний старший (левый) разряд.

Пример: Сложить два числа 28₁₀ + 58₁₀ в восьмиразрядной сетке_. Порядок выполнения арифметического сложения двоичных чисел в восьмиразрядной сетке приведен в табл. 2.20.1.

Табл.2.20.1. Арифметическое сложение двух чисел 28₁₀ + 58₁₀

Система счисления		Двоичное число								Десятичное число
Номер разряда	С	7	6	5	4	3	2	1	0		1	0
Перенос	0	0	1	1	1	0	0	0	0		1
1-е слагаемое		0	0	0	1	1	1	0	0		2	8
2-е слагаемое		0	0	1	1	1	0	1	0		5	8
Сумма		0	1	0	1	0	1	1	0		8	6

Примечание. С – это бит переноса из старшего седьмого разряда.

Ответ: 28₁₀ + 58₁₀ = 0001 1100₂ - 0011 1010₂ = 0101 0110₂ = 86₁₀.

Пример: Сложить два числа 255₁₀ + 1₁₀ в восьмиразрядной сетке_. Порядок выполнения арифметического сложения двоичных чисел в восьмиразрядной сетке приведен в табл. 2.20.2.

Табл.2.20.2. Арифметическое сложение двух чисел 255₁₀ + 1₁₀

Система счисления		Двоичное число								Десятичное число
Номер разряда	С	7	6	5	4	3	2	1	0		2	1	0
Перенос	1	1	1	1	1	1	1	1	0
1-е слагаемое		1	1	1	1	1	1	1	1		2	5	5
2-е слагаемое		0	0	0	0	0	0	0	1				1
Сумма		0	0	0	0	0	0	0	0		2	5	6

Примечание. Значение бита переноса С в результате не учитывается.

Ответ: при сложении десятичных чисел 255₁₀ + 1₁₀ получается 256₁₀, которое не входит в диапазон восьмиразрядной сетки 0 … 255₁₀. Поэтому результат в двоичной системе 00000000₂ получается неверный из-за переполнения восьмиразрядной сетки. Для получения правильного результата необходимы вычисления с двойной точностью, то есть в шестнадцатиразрядной сетке.

Пример: Сложить два числа 255₁₀ + 1₁₀ в шестнадцатиразрядной сетке_. Порядок выполнения арифметического сложения двоичных чисел в шестнадцатиразрядной сетке приведен в табл. 2.20.3.

Табл.2.20.3. Арифметическое сложение двух чисел 255₁₀ + 1₁₀

Система счисления		Двоичное число
Номер разряда	С	15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
Перенос	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1	0
1-е слагаемое		0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
2-е слагаемое		0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1
Сумма		0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0

Ответ: при сложении десятичных чисел 255₁₀ + 1₁₀ получается 256₁₀, которое входит в диапазон шестнадцатиразрядной сетки 0 … 65535₁₀. Поэтому результат в двоичной системе получается верный 0000 0001 0000 0000₂ = 256₁₀.

Пример: Сложить два числа -1₁₀ + 1₁₀ в восьмиразрядной сетке_. Порядок выполнения арифметического сложения двоичных чисел в восьмиразрядной сетке приведен в табл. 2.20.4.

Табл.2.20.4. Арифметическое сложение двух чисел -1₁₀ + 1₁₀

Система счисления	Двоичное число									Десятичное число
Номер разряда	СF	7	6	5	4	3	2	1	0	0
Перенос	1	1	1	1	1	1	1	1	0
1-е слагаемое		1	1	1	1	1	1	1	1	-1
2-е слагаемое		0	0	0	0	0	0	0	1	+1
Сумма		0	0	0	0	0	0	0	0	0

Примечание. СF – разряд переноса (заема). Значение бита переноса СF в результате не учитывается.

Ответ: при сложении десятичных чисел -1₁₀ + 1₁₀ получается 0₁₀, которое входит в диапазон восьмиразрядной сетки -128₁₀ … 0 … +127₁₀. Результат 0000 0000₂ верный.