2.3.1. Целые числа без знака (unsigned)

Целые числа без знака используются для представления только положительных чисел. Количество двоичных чисел, которые могут быть представлены с помощью n-разрядов равно 2ⁿ. Диапазон представления целых чисел без знака определяется как 0 … 2ⁿ-1, где n – длина разрядой сетки.

Табл.2.14. Диапазон целых чисел без знака

Тип данных	Размер n, бит	Диапазон 0 … 2n-1
		Dec	Hex
unsigned (short) char	8	0 … 255	00 … FF
unsigned int	16	0 … 65535	0000 … FFFF
unsigned long	32	0 … 4294967295	00000000 … FFFFFFFF

Пример: Перевести целое десятичное число 125₁₀ в двоичную систему счисления. Двоичное число записать восьмиразрядной и шестнадцатиразрядной сетках.

Перевод числа 125₁₀ = 1111101₂.

Число 125₁₀ входит в диапазон чисел 0 … 255 и 0 … 65535.

Ответ: 1. Для n=8 число 125₁₀ = 0111 1101₂; 2. Для n=16 число 125₁₀ = 0000 0000 0111 1101₂ (здесь и далее в записи двоичного числа используем пробел между тетрадами для контроля разрядности числа).

Пример: Перевести целое десятичное число 256₁₀ в двоичную систему счисления. Двоичное число записать восьмиразрядной и шестнадцатиразрядной сетках.

Перевод числа: 256₁₀ = 1 0000 0000₂.

Число 256₁₀ не входит в диапазон чисел 0 … 255 и входит в диапазон чисел 0 … 65535.

Ответ: 1. Число 256₁₀ нельзя представить в восьмиразрядной сетке, т.к. оно не входит в диапазон 0 … 255; 2. Для n=16 число 256₁₀ = 0000 0001 0000 0000₂.

Пример: Определить знак двоичного числа 1000000000000000₂.

Ответ: Двоичное число является положительным, так как в формате без знака все числа положительные.

2.3.2. Целые числа со знаком (signed)

Целые числа со знаком используются для представления как положительных, так и отрицательных чисел. Диапазон представления целых чисел со знаком определяется как 2^n-1 … 2^n-1-1, где n – количество разрядов сетки.

Табл.2.15. Диапазон целых чисел со знаком

Тип данных	Размер n, бит	Диапазон 2n-1 … 2n-1-1
		Dec	Hex
signed (short) char	8	-128 … +127	00 … FF
signed int	16	-32 768 … +32 767	0000 … FFFF
signed long	32	-2 147 483 648 … +2 147 483 647	8000 0000 … 7FFF FFFF

Для изображения знака числа в разрядной сетке испо­льзуется старший (левый) разряд, в котором 0 соответствует положительному числу, 1  отрицательному. Для восьмиразрядной сетки знаковым является седьмой разряд, для шестнадцатиразрядной сетки знаковым является пятнадцатый разряд.

Табл. 2.15.1. Положительное двоичное восьмиразрядное число

7	6	5	4	3	2	1	0
0	1	1	1	1	1	0	1

Табл. 2.15.2. Отрицательное двоичное восьмиразрядное число

7	6	5	4	3	2	1	0
1	1	1	1	1	1	0	1

Для кодирования чисел со знаком в микропроцессорной технике применя­ется специальный двоичный дополнитель­ный код, который обладает следующими свойствами:

1. Дополнительные коды положительных двоичных чисел формата signed определены в диапазоне 0 … 2^n-1-1 и совпадают с двоичными кодами чисел формата unsigned, определенных в диапазоне 0 … 2^n-1-1. Дополнительные коды положительных двоичных чисел получаются делением на 2.

2. Дополнительный код отрицательного дво­ичного числа определяется двумя способами:

   1. По формуле Х₁₀ = [2ⁿ + Х₁₀]₂ , где Х₁₀ – отрицательные десятичные числа в диапазоне от (-1) до (-2ⁿ/2).

   2. По правилу изменения знака двоичного числа в дополнительном коде:

2.2.1. Записать двоичное число в заданной разрядной сетке.

2.2.2. Заменить в двоичном числе все нули на единицы, а единицы на нули (поразрядная инверсия).

2.2.3. Полученное число сложить с единицей по правилам двоичной арифметики.

Данное правило может применяться для перехода от положительных двоичных чисел к отрицательным числам, и наоборот.

Изменение знака шестнадцатеричного числа выполняется в следующей последовательности:

1. Выполнить поразрядную инверсию каждого символа по формуле [2⁴ - 1 - Х_i]₁₆.

2. Полученное шестнадцатеричное число сложить с единицей по правилам двоичной арифметики .

Способ перевода двоичных чисел со знаком в десятичную систему счисления зависит от знака числа:

1. Целые положительные двоичные числа переводятся по формуле степенного ряда вида:

a_n-1р^n-1 + a_n-2р^n-2 + . . . + a₁р¹ + a₀р⁰.

2. Целые отрицательные двоичные числа переводятся по формуле степенного ряда вида:

(-a_n-1)р^n-1 + a_n-2р^n-2 + . . . + a₁р¹ + a₀р⁰, где (n-1) – старший разряд разрядной сетки.

Пример. Представить число +125₁₀ в восьмиразрядной и шестнадцатиразрядной сетках.

Число +125₁₀ входит в диапазон чисел (-128 … +127) и (-32768 … +32767).

Ответ: 1. Для n=8 число 125₁₀ = 0111 1101₂; 2. Для n=16 число 125₁₀ = 0000 0000 0111 1101_2.

Пример: Определить знак двоичного числа 0111 1101₂ в восьмиразрядной сетке.

Число 0111 1101₂ записано в восьмиразрядной сетке.

Ответ: Число 0111 1101₂ положительное, т.к. в старшем 7-ом знаковом разряде записан ноль.

Пример: Определить знак двоичного числа 0000 0000 0111 1101₂ в шестнадцатиразрядной сетке.

Число 0000 0000 0111 1101₂ записано в шестнадцатиразрядной сетке.

Ответ: Число 0000 0000 0111 1101₂ положительное, т.к. в старшем 15-ом знаковом разряде записан ноль.

Пример. Представить число -125₁₀ в восьмиразрядной и шестнадцатиразрядной сетках.

Число -125₁₀ входит в диапазон чисел (-128 … +127) и –(32768 … +32767).

Для n=8 d₁₀ = -125₁₀ = [2⁸ -125₁₀]₂ = [256 -125₁₀]₂ =[131₁₀]₂ = 10000011₂.

Для n=16 d₁₀ = -125₁₀ = [2¹⁶ -125₁₀]₂ = [65536 -125₁₀]₂ =[65411₁₀]₂ = 1111 1111 1000 0011₂.

Ответ: для n=8 -125₁₀ = 1000 0011₂ ; для n=16 -125₁₀ = 1111 1111 1000 0011₂.

Пример: Представить двоичное число 0111 1101₂ в десятичной системе счисления.

Для положительного числа используем формулу:

a₇р⁷ + a₆р⁶ + a₅р⁵ + a₄р⁴ + a₃р³ + a₂р² + a₁р¹ + a₀р⁰ = 0+64+32+16+8+4+0+1 = 125₁₀.

Ответ: число 0111 1101₂ = +125₁₀.

Пример: Представить двоичное число 0111 1101₂ в шестнадцатеричной системе счисления.

Ответ: число 0111 1101₂ = 7D₁₆.

Пример: Определить знак шестнадцатеричного числа 7D ₁₆.

Ответ: числа 7D₁₆ положительное, т.к. в старшем разряде числа 7D₁₆ цифра 7₁₆ = 0111₂, старший бит тетрады равен 0₂, что соответствует знаку плюс.

Пример: Изменить знак двоичного числа 111 1101₂ и записать число в восьмиразрядной сетке.

1. Записываем 111 1101₂ число в восьмиразрядной сетке 0111 1101₂.

2. Число 0111 1101₂ положительное, т.к. в старшем 7-ом знаковом разряде записан ноль.

2. Выполняем поразрядную инверсию 1000 0010₂.

3. Складываем число с единицей 1000 0010₂ + 0000 0001₂ = 1000 0011₂.

Ответ: полученное число 1000 0011₂ является отрицательным, т.к. в старшем 7-ом знаковом разряде записана единица.

Пример: Определить знак двоичного числа 1111 1101₂ в восьмиразрядной сетке.

Число 1111 1101₂ записано в восьмиразрядной сетке.

Ответ: Число 1111 1101₂ отрицательное, т.к. в старшем 7-ом знаковом разряде записана единица.

Пример: Определить знак двоичного числа 1000 0000 0111 1101₂ в шестнадцатиразрядной сетке.

Число 1000 0000 0111 1101₂ записано в шестнадцатиразрядной сетке.

Ответ: Число 1000 0000 0111 1101₂ отрицательное, т.к. в старшем 15-ом знаковом разряде записана единица.

Пример: Представить двоичное число 1000 0011₂ в десятичной системе счисления.

Для отрицательного числа используем формулу:

(-a₇)р⁷ + a₆р⁶ + a₅р⁵ + a₄р⁴ + a₃р³ + a₂р² + a₁р¹ + a₀р⁰ = -128+0+0+0+2+1 = -125₁₀

Ответ: 1000 0011₂ = -125₁₀.

Пример. Представить двоичное число 1000 0011₂ в шестнадцатеричной системе счисления.

Ответ: 1000 0011₂ = 83₁₆.

Пример: Определить знак шестнадцатеричного числа 83₁₆.

Ответ: число 83₁₆ отрицательное, т.к. в старшем разряде числа 83₁₆ цифра 8₁₆ = 1000₂, старший бит тетрады равен 1₂, что соответствует знаку минус.

Пример: Изменить знак двоичного числа 0111 1101₂ в шестнадцатиразрядной сетке.

1. Записываем 0111 1101₂ число в шестнадцатиразрядной сетке 0000 0000 0111 1101₂.

2. Выполняем поразрядную инверсию (заменяем все нули на единицы, а единицы - на нули) 1111 1111 1000 0010₂.

3. Складываем число с единицей

1111 1111 1000 0010₂ + 0000 0000 0000 0001₂ = 1111 1111 1000 0011₂.

Ответ: число 1111 1111 1000 0011₂.

Пример: Определить знак двоичного числа 1111 1111 1000 0011₂.

Двоичное число 1111 1111 1000 0011₂ записано в шестнадцатиразрядной сетке.

Ответ: Число 1111 1111 1000 0011₂ отрицательное, т.к. в старшем 15-ом знаковом разряде записана единица.

Пример: Представить двоичное число 1111 1111 1000 0011₂ в десятичной системе счисления.

Для отрицательного числа используем формулу:

(-a₁₅)р¹⁵+a₁₄р¹⁴+a₁₃р¹³+a₁₂р¹²+a₁₁р¹¹+a₁₀р¹⁰+a₉р⁹+a₈р⁸+a₇р⁷+a₆р⁶+a₅р⁵+a₄р⁴+a₃р³+a₂р²

+a₁р¹+a₀р⁰= = -32768+16384+8192+4096+2048+1024+512+256+128+0+0+0+2+1 = -125₁₀

Ответ: 1111 1111 1000 0011₂ = -125₁₀.

Пример: Представить двоичное число 1111 1111 1000 0011₂ в шестнадцатеричной системе счисления.

Ответ: 1111 1111 1000 0011₂ = FF83₁₆

Пример: Определить знак шестнадцатеричного числа FF83₁₆.

Ответ: числа FF83₁₆ отрицательное, т.к. в старшем разряде символа F₁₆ = 1111₂ старший бит тетрады равен 1₂.

Пример. Представить шестнадцатеричное число 7D₁₆ в двоичной системе счисления.

Ответ: 7D₁₆ = 0111 1101₂.

Пример. Представить шестнадцатеричное число 7D₁₆ в десятичной системе счисления.

Число 7D ₁₆ положительное, поэтому можно применить формулу степенного ряда: a₁р¹+a₀р⁰.

7D ₁₆ = (7)₁₀ (13)₁₀= 716р¹+1316р⁰ = 112 +13 = 125₁₀.

Ответ: 7D₁₆ = +125₁₀.

Пример. Представить шестнадцатеричное число 83₁₆ в двоичной системе счисления.

Ответ: 7D₁₆ = 1000 0011₂.

Пример. Представить шестнадцатеричное число 83₁₆ в десятичной системе счисления.

Число 83₁₆ отрицательное, поэтому сначала нужно перевести в двоичную систему счисления и перевести по формуле (-a₇)р⁷ + a₆р⁶ + a₅р⁵ + a₄р⁴ + a₃р³ + a₂р² + a₁р¹ + a₀р⁰.

83₁₆ = 1000 0011₂ = -128 + 2 +1 = -125₁₀.

Ответ: 83₁₆ = -125₁₀.