1.2 Прийняття рішень в умовах ризику

Із початку 70-х років минулого століття у світі активно проводяться дослідження із проблеми аналізу ринку. Практичною причиною, яка зумовила проведення цих досліджень, стали великі економічні втрати.

Існують різні підходи до визначення поняття «ризик»:

1) ризик – це ймовірність небажаних наслідків або втрат;

2) ризик – це величина можливих втрат;

3) ризик – це комбінація ймовірності й величини втрат.

Деякий процес може розвиватись за різними варіантами, кожен з яких має свої переваги та недоліки, причому, як правило, таких варіантів може бути безліч. Необхідно із усіх можливих варіантів обрати найкращий. З цією метою використовуються математичні методи знаходження найкращої дії.

1.3 Приклади математичних моделей в ситуації ризику

1.3.1 Задача оптимального управління портфелем фінансових активів

Визначити оптимальну стратегію придбання та реалізації цінних паперів, якщо відомі кількість цінних паперів в інвестора, ціна придбання та ціна реалізації цінних паперів, депозитна та кредитна відсоткові ставки та наявні в інвестора вільні кошти. Потрібно визначити: які цінні папери і в якій кількості потрібно продати, які придбати, який взяти кредит, які кошти покласти на депозит, щоб в кінці року одержати найбільший прибуток від цінних паперів.

Відомі параметри:

n – кількість видів цінних паперів, якими володіє інвестор;

j – номер окремого виду цінних паперів;

a_j – кількість цінних паперів j-того виду, наявних у інвестора на даний момент часу;

P_j – ціна реалізації одиниці цінних паперів j-того виду;

q_j – ціна придбання одиниці цінних паперів;

r – процентна ставка за кредит у випадку залучення інвестором у поточний момент часу позикових коштів;

S – ставка банківського депозитного процента;

I – розмір вільного капіталу інвестора на даний момент часу.

Невідомі параметри:

v – розмір позикових коштів, які ми хочемо взяти в банку;

w – залишок вільних коштів, які залишаться після продажу та купівлі цінних паперів (ці кошти можна покласти в депозит);

x_j – кількість цінних паперів, які заплановано реалізувати;

y_j – кількість цінних паперів, які заплановано придбати;

z – загальний дохід інвестора.

Некерованим параметром в даній моделі є d_j – тобто дохід від одиниці цінних паперів j-того виду.

Використовуються такі обмеження:

1.Рівняння балансу:

2. Ставимо обмеження на кількість цінних паперів, які підлягають реалізації:

3. Обмеження невід’ємності:

Ситуація ризику

У цій моделі величини d_j вважаються невідомими, але є статистичні дані про них за певний відрізок часу, по яких ми можемо визначити їх математичні сподівання та дисперсії, використавши статистичні дані за попередні періоди, і зробити певні висновки.

Математичне сподівання величини d_j визначається як середнє значення цієї величини за кілька періодів. Позначається воно .

Дисперсія величини d_j визначає, наскільки далеко розміщені значення цієї величини від її математичного сподівання. Дисперсія позначається і визначається як середнє значення квадрату різниці:

Іще одним важливим параметром є коефіцієнт кореляції, який позначається .

Коли ми приймаємо рішення за умов ризику нам потрібно визначитись із нашим ставленням до нього. Є три види ставлення: нейтральне (працюємо так, ніби знаємо d_j і не звертаємо уваги на втрати), позитивне і негативне (не допускаємо жодного ризику).

Розглянемо спочатку модель задачі для нейтрального ставлення до ризику. У цій моделі ми намагаємось зробити найбільшим середній дохід, не звертаючи уваги на можливі відхилення від середніх.

Розглянемо тепер варіант, коли інвестор ставиться до ризику позитивно. Тоді він повинен вибрати такий варіант, який дає найбільше середнє значення і найбільш можливе відхилення цього значення.

Обмеження в задачі залишаються тими ж.

Розглянемо випадок негативного ставлення до ризику.

Дана задача є двокритеріальною. Критеріями вважаються середнє значення та дисперсія. В принципі, можливо, що ці критерії суперечать один одному, тобто оптимальне значення одного з них дає значення далеке від оптимального значення іншого.

Розв’язання двокритеріальної задачі здійснюється в кілька етапів:

1. Для обох критеріїв визначаються найменше та найбільше можливі значення (z_min, z_max; σ²_min, σ²_max).

2. Якщо для одного із критеріїв мінімальне значення дорівнює максимальному, то цей критерій взагалі відкидається. Якщо ж ці значення не рівні, то складається загальний критерій:

Знак „+” відповідає позитивному ставленню до ризику, а знак „” негативному.

Далі потрібно розв’язати задачу визначенням найбільшого значення критерію u.

3. Якщо інвестор не погоджується з нашим рішенням, то він повинен вказати межі для середнього значення і дисперсії, які його влаштовують.

4. Потім ми повинні визначити реальність варіантів, які визначив інвестор і здійснюємо корекцію варіантів. Якщо вони не реальні, то послаблюємо вимоги, щоб зробити їх реальними. Якщо ж вимоги реальні, то корекція може посилити їх.

5. Визначається найбільш ефективний фінансовий портфель, розв’язок передається інвесторові.

6. Якщо інвестор погодився з розв’язком, то задача розв’язана, інакше повертаємось на етап №4.