23.Символы о-малое и о-большое, эквивалентные б.М. И б.Б.

Пусть функции и определены на мн-ве и – точка сгущения мн-ва . Пусть также в некоторой проколотой окрестности точки ф-ия отлична от нуля (точнее, ).

О 1. Если ,то говорят, что ф-ия есть о-малое от функции при , и пишут при .

О 2. Если ф-ия ограничена в некоторой проколотой окрестности точки , т.е. если она ограничена на мн-ве , то говорят, что ф-ия есть о-большое от функции при , и пишут при .

О 3. Пусть и – бесконечно малые при функции. Ф-ия наз. бесконечно малой высшего порядка по сравнению с функцией , если при ,

т.е. если .

О 4. Бесконечно малые при функции и называют эквивалентными при и пишут ~ при , если

Замечания 4. Очевидно, что если ~ при , то и ~ при

Теорема 2. Пусть и – бесконечно малые при функции, причем ~ , а ~ при . Тогда если ,то и .

Замечание 3. Иными словами в этой теореме утверждается, что при отыскании предела частного бесконечно малых функций, каждую из этих бесконечно малых можно заменить на эквивалентную ей бесконечно малую.

Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 2. Поскольку

и по условию , , ,то по теореме о пределе частного имеем

□

По аналогии с определениями 5 и 6 вводятся следующие определения для бесконечно больших функций.

24.Замечательные пределы

n^o1. Первый замечательный предел и его следствия.

Покажем, что (первый замечательный предел),(1) т.е., что ~ ( ).

Так как ф-ия – четная, то достаточно найти правосторонний ее предел в точке .

Пусть . Тогда как видно из следующего рисунка

,

,

,

при этом ясно, что . Поэтому (2)и, следовательно,

Таким образом, если будет доказано, что , (3)то будет доказано и (1).

Используя левое из неравенств (2) получим , (4)

n^o2. Второй замечательный предел

Имеет место равенство

25.Асимптоты графика функции

О1. Прямая наз. вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из пределов или равен или .

О 2. Прямая наз. наклонной асимптотой графика функции при ( ), если ( ). (1)

Теорема. Для того, чтобы прямая была наклонной асимптотой графика функции при ( ), необходимо и достаточно, чтобы ( ).

(2)Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть, например, - наклонная асимптота графика функции при . Тогда из равенств

в силу (1) следует (2). Необходимость доказана.

Докажем достаточность. Действительно, если имеют равенства (2), то из второго из них следует (1), т.е. - наклонная асимптота графика функции при □

26.Понятие непрерывной функции. Простейшие свойства непрерывных функций, в том числе, вытекающие из свойств предела

О 1. Ф-ия , , наз. непрерывной в точке , если для любого существует такое , что для любого , удовлетворяющего неравенству

, (1) справедливо также и неравенство (2)

Замечание 1. Данное О иногда наз. Ом непрерывности функции на языке . По форме оно явно напоминает О предела функции в форме Коши, при этом в отличие от него здесь требуется, чтобы точка принадлежала мн-ву , но не требуется, чтобы она была точкой сгущения этого мн-ва.

В связи с последним замечанием отметим, что если точка не явл. точкой сгущения мн-ва , то она наз. изолированной точкой этого мн-ва. Иными словами точка наз. изолированной точкой мн-ва , если существует такая ее окрестность , что ∅ или, что тоже самое, .О 1’. Ф-ия , , наз. непрерывной в точке , если для любого существует такое , что

(т.е. ).

Это О, а значит и О 1, очевидно равносильно следующему определению:

О 1”. Ф-ия , , наз. непрерывной в точке , если для любой окрестности точки существует такая окрестность точки , что

.

С учетом замечаний 2 и 3, теоремы о равносильности определений предела по Коши и по Гейне, а также с учетом того, что всякую точку можно представить в виде , заключаем, что определения 1, 1’и 1" равносильны следующему определению на языке последовательностей:

О 2. Ф-ия , , наз. непрерывной в точке , если для любой последовательности точек , , последовательность сходится и ее предел равен значению функции в точке : .

Теорема 2 (Арифметические свойства непрерывных функций). Пусть функции и определены на мн-ве и непрерывны в точке . Тогда и функции:

, , , (при на ) непрерывны в точке .