41.Формула Тейлора для многочлена.

n.1. Формула Тейлора для многочлена.

Рассмотрим некоторый многочлен степени с вещественными коэффициентами:

(1)

Зададим произвольное вещественное число и в правой части равенства (1) представим в виде :

Раскрыв здесь квадратные скобки и приведя подобные члены при одинаковых степенях , в результате получим разложение многочлена (1) по степеням :

, (2) где - постоянные, зависящие от исходных коэффициентов и от числа .

При больших , на практике, указанный выше способ разложения многочлена по степеням весьма трудоемок. Оказывается, имеется простой способ отыскания коэффициентов разложения многочлена по степеням . Будем последовательно дифференцировать равенство (2):

.

Полагая в каждом из этих равенств получим

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

Если кроме того положить в (2), то считая, как обычно, и будем также иметь

Таким образом, для коэффициентов разложения (2) многочлена по степеням имеем следующие формулы , (3)

42. Локальная формула Тейлора (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано).

n.2. Локальная формула Тейлора.

Пусть ф-ия раз дифференцируема в точке . Напомним, это означает, что существует такая окрестность точки , в которой определена сама ф-ия и существуют конечные производные

при этом в точке существует также конечная производная . Поэтому, в частности, определен многочлен , который наз. ( -ым) многочленом Тейлора функции в точке .

Положим , Тогда

Эта формула или, в более явном виде, формула (1)

наз. формулой Тейлора функции в точке , а ф-ия - остаточным членом формулы Тейлора.

Ниже будет доказано, что остаточный член формулы Тейлора может быть записан в виде

(при ) (2)

Остаточный член в такой форме обычно называют остаточным членом в форме Пеано, а формулу Тейлора с остаточным членом в такой форме, т. е. формулу

(3)

называют, соответственно, формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано или, также, локальной формулой Тейлора.

Лемма 1. Пусть ф-ия раз дифференцируема в точке и

. (4)

Тогда . (5)

Д о к а з а т е л ь с т в о (по индукции).

При в силу дифференцируемости функции в точке имеем

А так как по условию (4) , то это означает, что

таким образом, при утверждение леммы справедливо.

Предположим, что оно справедливо при , и покажем, что тогда оно справедливо и при .

Действительно, поскольку при по условию (4), в частности, , то по индукционному предположению для ф-ия

(6)

Далее, так как ф-ия раз дифференцируема в точке и , то для любой точки из некоторой окрестности имеет место формула конечных приращений Лагранжа

. Говорят, что в точке ф-ия имеет , (7)где точка лежит м/д точками и . Но так как , то из формул (6) и (7) следует, что

Полагая здесь будем иметь

Поэтому равенство (5) при будет доказано, если будет показано, что

(8)

Действительно, так как точка лежит м/д точками и , то

(9) и, следовательно,

(10)

Остаётся заметить, что в силу (9) при и, значит,