15.Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.

О 1. Последовательность наз. фундаментальной, если для любого найдется такой номер , что при всех выполняется неравенство (1)

Замечание 1. Без ущерба для общности в определении 1 можно считать, что , т.е. что , где . Следовательно этому определению можно придать следующую форму: Последовательность наз. фундаментальной, если для любого найдется такой номер , что и справедливо неравенство

(1')

Теорема 1. Если последовательность фундаментальна, то она ограничена.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть фиксировано некоторое , тогда существует такой номер N, что при n,m > N выполняется неравенство (1). Возьмем m = N + 1, тогда при n > N и, следовательно,

.

то есть все члены последовательности при n > N ограничены числом .

Положим .Очевидно, при всех , то есть последовательность ограничена□

Теорема 2 (Критерий Коши). Для тогоТеорема 2 (Критерий Коши). Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость: Пусто последовательность сходится и x – ее предел. Покажем, что она фундаментальна.

Для произвольно заданного найдется такой номер N, что при n > N выполняется неравенство . Тогда при n,m > N ,

т. е. - фундаментальна. Необходимость доказана.

Докажем достаточность. Пусть – фундаментальная последовательность. Покажем, что она сходится.

В силу теоремы 1 – ограниченная последовательность, а в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Пусть предел этой подпоследовательности. Покажем, что и сама последовательность имеет тот же предел, т. е. .

Выберем произвольное . Поскольку последовательность фундаментальна, найдется такой номер , что при ,а так как , то из последнего неравенства при имеем при n > N₁.(2)

Подпоследовательность сходится, поэтому существует такой номер N₂, что

при n > N₂ (3)

Пусть : тогда при n > N , с учетом неравенств (2) и (3), получим

.

Таким образом, и достаточность также доказана □

16.Предел функции: два определения и их эквивалентность. Теоремы о пределе функции, вытекающие из теорем о пределе числовой последовательности.

О 1. Точка наз. точкой сгущения или предельной точкой мн-ва , если в любой ее проколотой окрестности имеется хотя бы одна точка этого мн-ва, т.е. если для любой окрестности точки

∅.

О 2 (предела функции по Коши). Пусть ф-ия определена на мн-ве и – точка сгущения этого мн-ва. Число наз. пределом функции при или, также, пределом функции в точке , если для любого существует такое , что для любого , удовлетворяющего неравенствам:

(1) имеет место неравенство (2)

Если число явл. пределом функции в точке , то пишут

, или , или .