10.Число e.

11. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

О1. Последовательность наз. бесконечно малой (б.м.), если

.

Замечание 1. Очевидно, что если , то , (т.е. - б. м. последовательность)

при этом .

Наоборот, если имеет место это равенство и - б. м. последовательность, то .

Таким образом, последовательность имеет предел тогда и только тогда, когда она равна сумме постоянной и бесконечно малой последовательностей.

Теорема 1. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность. Последовательность такую, что , называют бесконечно большой и пишут

12.Лемма о вложенных отрезках.

Лемма. Для любой последовательности вложенных отрезков Лемма. Для любой последовательности вложенных отрезков ,

( ), их пересечение

непусто.

Более того, если длины этих отрезков стремятся к нулю , то это пересечение состоит из одной точки.

13. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченной

последовательности.

О 1. Пусть – произвольная числовая последовательность, – возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность , , , наз. подпоследовательностью последовательности и обычно обозначается или, короче, .

Теорема 1. Всякая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится и имеет тот же предел, что и исходная последовательность.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть последовательность сходится и – ее предел. Пусть далее – некоторая подпоследовательность этой последовательности. Выберем произвольное . Так как , то найдется такое , что ,

а так как по определению 1 для всякой подпоследовательности ,

то .

В силу произвольности это означает, что □

Теорема 2 (Больцано-Вейерштрасса). Всякая ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть – произвольная ограниченная последовательность. В силу своей ограниченности все ее члены принадлежат некоторому отрезку . Разделим этот отрезок пополам. По крайней мере один из полученных отрезков содержит бесконечное число членов последовательности . Выберем любой из этих отрезков, который содержит бесконечное число членов последовательности и обозначим его . Отрезок вновь поделим пополам и выберем любую его половину, которая содержит бесконечное число членов последовательности , обозначим ее и т. д. В итоге получим последовательность , вложенных отрезков, длины которых –

– стремятся к нулю. По лемме о вложенных отрезках существует единственная общая точка всех этих отрезков: .

14 . Верхний и нижний пределы последовательности.

О 2. Число (или символ ∝ или −∝) наз. частичным пределом последовательности , если оно (он) явл. пределом некоторой ее подпоследовательности.

Из теоремы Больцано-Вейерштрасса следует, что всякая числовая последовательность (необязательно ограниченная) имеет хотя бы один (возможно бесконечный) частичный предел. Более того, можно показать, что мн-во всех частичных пределов всякой числовой последовательности имеет наибольший и наименьший эл-ты.

О 3. Наибольший (соотв, наименьший) из частичных пределов ограниченной последовательности наз. верхним (соотв., нижним) ее пределом.

Верхний и нижний пределы обозначаются , соответственно, символами

и .