- •2. Понятие отображения, образ и прообраз мн-ва при отображении, суперпозиция отображений, сужение отображения, график отображения.
- •3. Сюрьективные, инъективные и биективные отображения.
- •4. Аксиома нерерывности мн-ва вещественных чисел.
- •5.Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Единственность предела. Ограниченность сходящейся числовой последовательности.
- •7. Предельный переход в неравенствах (для последовательностей).
- •8. Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной
- •9.Применение теоремы о пределе монотонной последовательности к вычислению пределов.
- •10.Число e.
- •11. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- •12.Лемма о вложенных отрезках.
- •13. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченной
- •14 . Верхний и нижний пределы последовательности.
- •15.Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
- •16.Предел функции: два определения и их эквивалентность. Теоремы о пределе функции, вытекающие из теорем о пределе числовой последовательности.
- •17.Критерий Коши существования предела функции.
- •18.Локальные свойства функций имеющих предел.
- •19.Теорема о пределе суперпозиции.
- •20.Односторонние пределы
- •21.Бесконечные пределы и пределы в бесконечности
- •22.Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •22.Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •23.Символы о-малое и о-большое, эквивалентные б.М. И б.Б.
- •24.Замечательные пределы
- •25.Асимптоты графика функции
- •26.Понятие непрерывной функции. Простейшие свойства непрерывных функций, в том числе, вытекающие из свойств предела
- •27.Точки разрыва функции и их классификация. Примеры: ф-ия Дирихле и другие примеры
- •28.Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора.
- •29.Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции. Теорема 1 (первая теорема Больцано-Коши)
- •30.Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке ф-иях.
- •31. Критерий непрерывности монотонной функции. Теорема об обратной функции кнепрерывной и строго монотонной функции.
- •32.Понятие производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции в данной точке.
- •33.Дифференцируемые функции. Понятие дифференциала.
- •34.Арифметические операции с дифференцируемыми ф-иями.
- •35.Дифференцирование сложной функции
- •36.Дифференцирование обратной функции
- •37. Дифференцирование эл-тарных функций. Таблица производных.
- •38.Локальный экстремум функции. Теорема Ферма.
- •39. Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций: теоремы Роля, Лагранжа и Коши.
- •40.Производные и дифференциалы высших порядков.
- •41.Формула Тейлора для многочлена.
- •42. Локальная формула Тейлора (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано).
- •43.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Коши.
- •44. Разложение эл-тарных функций по формуле Тейлора.
- •45.Правило Лопиталя.
- •46.Условия монотонности функции.
- •47.Условия экстремума функции.Необходимое условие локального экстремума доставляет теорема Ферма. Очевидно, она допускает следующее усиление.
- •48. Условия выпуклости функции.
- •49.Точки перегиба графика функции.
39. Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций: теоремы Роля, Лагранжа и Коши.
Теорема 1 (теорема Ролля). Пусть ф-ия непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и на концах отрезка принимает равные значения : (1)
Тогда существует такая точка , что . (2)
Замечание 1. Из геометрических соображений теорема Ролля очевидна: если выполнены условия теоремы , то найдется такая точка , что в точке графика функции касательная к графику параллельна оси абсцисс и, следовательно тангенс угла наклона касательно в этой точке равен нулю , что равносильно (2).
Д о к а з а т е л ь с т в о. По первой теореме Вейерштрасса (о непрерывной на отрезке функции) ф-ия ограничена на отрезке . Следовательно числа
И конечны.
Если , то очевидно ф-ия явл. постоянной на отрезке . Тогда в качестве точки , для которой имеет место (2), можно взять любую точку интервала .
Пусть . Тогда выполнено по крайней мере одно из неравенств (3) и (4)
Пусть, например, имеет место (4). По второй теореме Вейерштрасса о непрерывной на отрезке функции , при этом в силу (4) и , т.е. . По определению числа точка явл. точкой глобального максимума функции . Поэтому по теореме Ферма в этой тосчке имеет место равенство (2) □
Теорема 2 (Лагранжа). Пусть ф-ия непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале .Тогда найдется такая точка , что
. (5)
Замечание 2. Терема 2 также имеет простой геометрический смысл. При выполнении ее условий на графике функции найдется такая точка , что в точке , касательная в которой к графику параллельна хорде, стягивающей точки и .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим ф-ию
Она очевидно непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и на концах отрезка принимает равные значения: .Тогда по теореме Ролля , т.е. ,а это равносильно равенству (5)□
Замечание 3. Формулу (5) называют формулой конечных приращений Лагранжа. Очевидно, она может быть записана в виде
Для этого достаточно положить в (5) , , a выбрать из условия , т.е. положить . Нетрудно видеть, что формула верна как при , так и при .
Теорема 3 (Коши). Пусть функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале . Тогда :
(6)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим ф-ию
Она, очевидно, удовлетворяет условию теоремы Ролля, согласно которой , т.е. что равносильно равенству (6)□
40.Производные и дифференциалы высших порядков.
Понятие производной порядка . Пусть ф-ия определена в некоторой окрестности точки и дифференцируема в этой окрестности, т.е. дифференцируема в каждой точке . Тогда в окрестности определена новая ф-ия , которая, наз. производной функции на мн-ве . Если ф-ия имеет в точке производную, то ее называют второй производной или производной второго порядка функции в этой точке и обозначают одним из символов
при этом часто аргумент – точку, в которой вычисляется эта производная, опускают. Таким образом.
,при этом, если ф-ия дифференцируема в точке , т.е. имеет в ней конечную производную, то говорят, что ф-ия дважды дифференцируема в этой точке.
Аналогично понятию второй производной функции в точке вводится понятие третьей производной (ее обозначают также или ) и, вообще производной любого порядка .
Точнее, общее О производной порядка вводится индуктивно. А именно, если ф-ия имеет в каждой точке конечную производную , то производная функции в точке наз. производной -го порядка функции в точке и обозначается одним из символов .
Таким образом, Понятие дифференциала порядка . Пусть ф-ия раз дифференцируема в точке (в соответствии с данным выше Ом это означает, напомним, что в некоторой окрестности этой точки она имеет конечные производные до порядка включительно, а в самой точке имеет и конечную производную порядка ). Тогда степенная ф-ия переменной наз. дифференциалом функции в точке порядка и обозначается или (короче также пишут или ).
Таким образом, для дифференциала порядка функции в точке имеем формулу , (1)
При этом понятия дифференциала и первого дифференциала (дифференциала порядка 1) совпадают друг с другом.