1.Мн-ва и действия над ними.
Ту или иную совокупность рассматриваемых объектов называют мн-вом, а соответствующие объекты –его эл-тами или точками.
- эл-т
принадлежит мн-ву
;
-
не принадлежит
Мн-во сост. из конечного числа эл-тов- конечное, наоборот- бесконечное.
Для описания конечных мн-в достаточно перечислить все их эл-ты, при этом они обычно заключаются в фигурные скобки.
-
мн-во А состоит из всех эл-тов от «а» до
«я»
-
мн-во
состоит из всех нечетных чисел от 1 до
31.
Бесконечные мн-ва:
-
мн-во всех натуральных чисел, а
-мн-во
всех целых чисел.
Мн-во,
состоящее из одного эл-та
,
обозначается
.
Часто мн-ва образуются на основании общего свойства своих эл-тов.
-
некоторое свойство.
-эл-т
обладает свойством
.
-мн-во
состоит из всех объектов, обладающих
свойством
-
мн-во
состоит из всех тех эл-тов мн-ва
,
которые обладают свойством
-
мн-во всех рациональных чисел
:
– мн-во всех вещественных корней
уравнения
Пустое мн-во- не содержит ни одного эл-та Ø.
О1.
Если каждый эл-т мн-ва
явл. также и эл-том мн-ва
,
то мн-во
наз. подмн-вом
мн-ва
(
или
).
Если мн-во
не явл. подмн-вом мн-ва
,
то пишут
.
для
любого мн-ва
.
Так же Ø
О2.
Мн-ва
и
называют равными
друг другу (
)
, если они состоят из одних и тех же
эл-тов или, иначе, если
и
.
О3.
Объединением
мн-в
и
наз. мн-во
.
О
4.
Пересечением
мн-в
и
наз. мн-во
.
О
5.
Разностью
м/д мн-вом
и мн-вом
наз. мн-во
О
6.
Прямым
(или
декартовым)
произведением
мн-в
и
наз. мн-во всех упорядоченных пар
таких, что
.
Прямое
произведение мн-в
и
обозначается
.
.
2. Понятие отображения, образ и прообраз мн-ва при отображении, суперпозиция отображений, сужение отображения, график отображения.
Пусть
и
– произвольные мн-ва. Правило
,
по которому каждому эл-ту
ставится в соответствие определенный,
и при том единственный, эл-т
наз. отображением
мн-ва
во мн-во
,
при этом мн-во
наз. областью
определения
отображения
,
а мн-во
–областью
значений
этого отображения
Если
эл-т
отображением
сопоставляется
эл-ту
,
то эл-т
называют образом
эл-та
при отображении
или значением
отображения
в точке
и обозначают
,
при этом пишут
,
а сам эл-т
,
который отображением
сопоставляется эл-ту
называют прообразом
эл-та
y
при отображении
.
Образом
мн-ва
при
отображении
называют мн-во
.
Образ
области определения отображения
называют мн-вом
значений
этого отображения.
,
но при этом не исключено, что
,
т.е. понятия мн-ва значений и области
значений отображения
,
вообще говоря, разные понятия.
Мн-во
наз. графиком отображения
Сужение отображения. Суперпозиция отображений.
Пусть
задано отображение
и мн-во
.
Определим
новое отображение
,
полагая,
что
.
Так определенное отображение
наз.
сужением
отображения
на
мн-во
и
обычно обозначается
.
Пусть
даны отображения
и
.
Новое
отображение
,
определенное по следующему правилу:
называют
суперпозицией
отображений
и
.
Суперпозицию
отображений
и
обычно обозначают символом
(таким образом,
), при этом если оба отображения
и
являются ф-иями, то их суперпозицию
называют сложной
функцией.
3. Сюрьективные, инъективные и биективные отображения.
Обратное отображение.Отображение наз.
а)
сюръективным
если
;
b) инъективным или взаимно однозначным отображением «в», если
из того,
что
следует, что
(или,
равносильно, если
из того,
что
следует, что
);
в) биективным или взаимно однозначным отображением «на» или также взаимно однозначным соответствием, если оно одновременно инъективно и сюръективно.
Пусть
отображение
устанавливает взаимно однозначное
соответствие м/д мн-вами
и
,
т.е. явл. биективным. Тогда можно определить
новое отображение
,
полагая, что
его образом
при отображении
явл. тот единственный эл-т
,
образом которого при отображении
явл.
соответствующий эл-т
:
Так
определенное отображение g
наз. обратным
к
отображению
и обозначается
,
т.е.
.
4. Аксиома нерерывности мн-ва вещественных чисел.
Точные
грани числовых мн-в. Аксиома непрерывности.
Для
любых непустых подмн-в
и
числовой прямой
,
обладающих тем свойством, что
,
существует, по крайней мере, одно такое
число
,
которое разделяет эти мн-ва, т.е.
.
Образно говоря, аксиома непрерывности гласит, что мн-во вещественных чисел не имеет дыр.
Лемма
2 (о
точных граней). Всякое
непустое, ограниченное сверху числовое
мн-во
имеет
точную верхнюю грань, а всякое непустое,
ограниченное снизу числовое мн-во имеет
точную нижнюю грань.
Если
мн-во
не ограничено сверху, то условимся
считать, что
и
соответственно будем считать, что
,если
оно не ограничено снизу.