21.Бесконечные пределы и пределы в бесконечности
Напомним,
что мн-во
,
которое получается добавлением к мн-ву
вещественных чисел
двух бесконечных точек
и
наз. расширенным мн-вом вещественных
чисел или также расширенной числовой
осью.
Определения.
1.
Окрестностью
точки
в
(как и ранее) наз. всякое мн-во
,
которое содержит некоторую
-окрестность
этой точки.
2.
Окрестностью
точки
в
наз.
любой промежуток вида
,
где
.
3.
Окрестностью
точки
в
наз. любой промежуток вида
,
где
.
4.
Пусть
и
–окрестность
этой точки (в
).
Тогда мн-во
наз.
проколотой
окрестностью точки
.
5.
Точка
наз. точкой
сгущения мн-ва
,
если для любой окрестности
этой точки
∅.Теперь
естественным образом можно расширить
понятие предела
для случая, когда обе или одна из точек
и
являются бесконечными точками расширенной
числовой оси
.
О
6. Пусть
– конечная и ли бесконечная точка
сгущения мн-ва
и ф-ия
определена на мн-ве
.
Конечное или бесконечное число (точка)
наз. пределом
функции
при
(или
в
точке
),
если для любой окрестности
точки
(в
)
существует такая окрестность
точки
(в
),
что
.
22.Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
О1.
Пусть ф-ия
определена на мн-ве
и
- его точка сгущения. Ф-ия
наз. бесконечно малой при
если
.
Замечание
1. Очевидно,
что
-
бесконечно малая ф-ия при
.
Замечание
2. Нетрудно
видеть также, что ф-ия
- бесконечно малая при
в том и только том случае, если ф-ия
-
бесконечно малая при
.
Следующая теорема явл. простым следствием теоремы об арифметических свойствах предела
Теорема 1. Сумма любого конечного числа бесконечно малых при функций есть бесконечно малая при ф-ия.
Теорема 2. Произведение бесконечно малой при функции и ограниченной в окрестности точки функции явл. бесконечно малой при функцией.
Замечание
3.
Точнее в этой теореме предполагается,
что ф-ия
ограничена на мн-ве
,
где
– некоторая окрестность точки
-
точки сгущения мн-ва
.
С
учетом определения предела функции по
Гейне, эта теорема явл. прямым следствием
аналогичной теоремы для числовых
последовательностей.Теорема
3 (о
связи м/д бесконечно малыми и бесконечно
большими). Пусть
- точка сгущения мн-ва
и
на
(или,
хотя бы, в некоторой окрестности точки
).
Тогда если
– бесконечно малая при
ф-ия, то
– бесконечно большая при
ф-ия;
если
же
– бесконечно большая при
ф-ия, то
– бесконечно малая при
ф-ия.
Д
о к а з а т е л ь с т в о. 1) Выберем
произвольное
и положим
.
Так как
,
то найдется такая окрестность
точки
,
что
и,
следовательно,
.
В силу произвольности
это и означает, что
– бесконечно большая при
ф-ия.
2)
Возьмем произвольное
и положим
.
Поскольку
,
то найдется такая окрестность
точки
,
что
.
22.Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
О1. Пусть ф-ия определена на мн-ве и - его точка сгущения. Ф-ия наз. бесконечно малой при если .
Замечание 1. Очевидно, что - бесконечно малая ф-ия при .
Замечание 2. Нетрудно видеть также, что ф-ия - бесконечно малая при в том и только том случае, если ф-ия - бесконечно малая при .
Следующая теорема явл. простым следствием теоремы об арифметических свойствах предела
Теорема 1. Сумма любого конечного числа бесконечно малых при функций есть бесконечно малая при ф-ия.
Теорема 2. Произведение бесконечно малой при функции и ограниченной в окрестности точки функции явл. бесконечно малой при функцией.
Замечание 3. Точнее в этой теореме предполагается, что ф-ия ограничена на мн-ве , где – некоторая окрестность точки - точки сгущения мн-ва . С учетом определения предела функции по Гейне, эта теорема явл. прямым следствием аналогичной теоремы для числовых последовательностей.
Теорема 3 (о связи м/д бесконечно малыми и бесконечно большими). Пусть - точка сгущения мн-ва и на (или, хотя бы, в некоторой окрестности точки ). Тогда если – бесконечно малая при ф-ия, то – бесконечно большая при ф-ия; если же – бесконечно большая при ф-ия, то – бесконечно малая при ф-ия.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Выберем произвольное и положим . Так как , то найдется такая окрестность точки , что
и, следовательно, . В силу произвольности это и означает, что – бесконечно большая при ф-ия.
2)
Возьмем произвольное
и положим
.
Поскольку
,
то найдется такая окрестность
точки
,
что
,
Поэтому
,
т.е.
– бесконечно малая при
ф-ия □