17.Критерий Коши существования предела функции.

Теорема (критерий Коши). Пусть ф-ия определена на мн-ве и (конечная или бесконечная) точка сгущения этого мн-ва. Для того, чтобы существовал предел (1) необходимо и достаточно, чтобы существовала такая окрестность точки , что для любых

. (2)

18.Локальные свойства функций имеющих предел.

О1. Пусть ф-ия определена на мн-ве и – некоторое его подмн-во ( ). Говорят, что ф-ия ограничена (соотв., ограничена сверху или снизу) на мн-ве , если его образ есть ограниченное (соотв., ограниченное сверху или снизу) мн-во.

Теорема 1 (о локальной ограниченности). Пусть ф-ия определена на мн-ве и - точка сгущения этого мн-ва. Тогда если существует предел , то существует такая окрестность точки , что ф-ия ограничена на мн-ве .

Ниже знак числа обозначается через .

Теорема 2 (о стабилизации знака). Пусть ф-ия определена на мн-ве и - точка сгущения этого мн-ва. Тогда если существует отличный от нуля предел , то в некоторой проколотой окрестности точки ф-ия имеет тот же знак, что и этот предел: точнее, существует такая окрестность точки , что (1)

19.Теорема о пределе суперпозиции.

Теорема (о пределе суперпозиции). Пусть ф-ия определена на мн-ве , – точка сгущения мн-ва и существует предел . (1)

Пусть, кроме того, ф-ия определена на мн-ве , – точка сгущения мн-ва и существует предел . (2)

Тогда, если ,(3) то на мн-ве имеет смысл суперпозиция и существует предел . (4)

Замечание1. Равенство (4) с учетом определения суперпозиции функций можно записать так:

Таким образом, теорема 1 указывает условия, при выполнении которых под знаком предела справа в этом равенстве можно сделать замену переменной по правилу , при этом зная этот предел мы знаем и предел, стоящий слева в этом равенстве.

Замечание 2. Если – область значений функции и либо , либо эта ф-ия явл. строго монотонной, то условие (3) теоремы 1 заведомо выполняется. На практике именно проверка условия (3) явл. "камнем преткновения" для использования этой теоремы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем произвольную окрестность точки . Тогда, в силу равенства (2), найдется окрестность точки такая, что (5)

В свою очередь, в силу равенства (1), для окрестности точки найдется такая окрестность точки , что , а так как и по условию , то отсюда следует, что . (6)

Из включений (5) и (6) следует, что . (6)

Из включений (5) и (6) следует, что .

Таким образом, для произвольно выбранной окрестности точки нашлась такая окрестность точки , что . По определению предела это и означает, что имеет место равенство (4)

20.Односторонние пределы

Пусть задана ф-ия и точка . Рассмотрим мн-ва

и .

О 1. Пусть - точка сгущения мн-ва . Если такое, что , удовлетворяющего неравенствам имеет место неравенство

. То число наз. левосторонним пределом функции в точке или также пределом функции в точке слева.

О 2. Пусть - точка сгущения мн-ва . Если такое, что , удовлетворяющего неравенствам имеет место неравенство

. то число наз. правосторонним пределом функции в точке , или также пределом функции в точке справа.

Теорема 1. Пусть , и – точка сгущения каждого из мн-в и . Тогда, если существуют равные м/д собой односторонние пределы и , то существует и равный им двусторонний предел

= = .