8. Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной
О1.
Последовательность
наз.
а)
возрастающей,
если
;
б) неубывающей,
если
;
в)
убывающей,
если
;
г)
невозрастающей,
если
;
д) монотонной, если она относится к одному из указанных выше типов а) – г);
е) строго монотонной, если она явл. либо возрастающей, либо убывающей.
Теорема 1. Всякая ограниченная монотонная последовательность сходится.
Поскольку всякая сходящаяся, и даже необязательно монотонная, последовательность ограничена, то из этой теоремы вытекает такое
Следствие. Для того, чтобы монотонная последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной.
Всякая
неубывающая последовательность
,
ограничена
снизу (числом
).
Следовательно, для ее ограниченности
достаточно, чтобы она была ограниченной
сверху. Поэтому справедливы следующие
уточнения теорема и ее следствия.
Теорема
2. Всякая
неубывающая, ограниченная сверху
числовая последовательность
сходится, при этом
Следствие. Для того, чтобы неубывающая числовая последовательность была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху.
Аналогично, для невозрастающих последовательностей справедливы следующие утверждения:
Теорема
3. Всякая
невозрастающая, ограниченная снизу
числовая последовательность
сходится, при этом
Следствие. Для того, чтобы невозрастающая числовая последовательность была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.
9.Применение теоремы о пределе монотонной последовательности к вычислению пределов.
пº1. Теоремы о пределе монотонных последовательностей
ограничена снизу (числом ). Следовательно, для ее ограниченности достаточно, чтобы она была ограниченной сверху. Поэтому справедливы следующие уточнения теорема и ее следствия.
Теорема
2. Всякая
неубывающая,
ограниченная сверху числовая
последовательность
сходится, при этом
Следствие. Для того, чтобы неубывающая числовая последовательность была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху.
Аналогично, для невозрастающих последовательностей справедливы следующие утверждения:
Теорема
3. Всякая
невозрастающая,
ограниченная снизу числовая
последовательность
сходится, при этом
Следствие. Для того, чтобы невозрастающая числовая последовательность была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.
пº2. Применение теорем о пределе монотонных последовательностей для вычисления некоторых пределов.
П
р и м е р 1.
,
если q
> 1. Действительно, здесь
=
,
.
Поэтому
=
,
П р и м е р 1. , если q > 1. Действительно, здесь = , . Поэтому
= ,(1)
а
так как
=
=
=
< 1,
то
найдется номер N,
такой, что при
> N
будем иметь
и следовательно, при тех же
< . Следовательно, если отбросить первые N членов рассматриваемой последовательности, то оставшиеся ее члены будут составлять монотонно убывающую последовательность, которая к тому же
ограничена снизу (все ее члены положительные) и в силу этого сходится (теорема 3). Поскольку отбрасывание конечного числа членов последовательности не влияет на ее сходимость, то это означает, что
сходится и исходная последовательность.
Найдем
теперь ее предел. Пусть
.
Тогда с учетом равенства (1) будем иметь
=
=
∙
=
.
Поэтому
= 0 и, следовательно,
= 0 □