5.Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Единственность предела. Ограниченность сходящейся числовой последовательности.

О1. Число (точка) наз. пределом последовательности , если для любого существует такой номер , что для всех натуральных имеет место неравенство . (1)

Обозначение: , или (а также при )

Краткое, символическое О:

В общем случае, окрестностью точки называют всякое мн-во , которое содержит некоторую ее -окрестность .

Наконец, О предела числовой последовательности может быть сформулировано следующим образом: Число (точка) наз. пределом последовательности , если все ее члены, начиная с некоторого номера, принадлежат любой наперед заданной окрестности точки .

О2. Если числовая последовательность имеет предел, то говорят, что она сходится и называют ее сходящейся. В противном случае, т.е. если она не имеет предела, говорят, что она расходится и называют ее расходящейся.

Замечание 1. Очевидно, что если последовательность сходится (расходится), то сходящейся (расходящейся) будет и последовательность полученная из нее добавлением или исключением из нее конечного числа членов, при этом в случае сходимости исходной последовательности новая последовательность, будет иметь тот же предел, что и исходная.

Понятие ограниченной последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.

Теорема 1. Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

О3. Числовая последовательность наз.

А) ограниченной, если :

Б) ограниченной сверху, если :

В) ограниченной снизу, если

Теорема 2. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Утверждение обратное к утверждению последней теоремы, вообще говоря, неверно.

Арифметические свойства сходящихся последовательностей.

О1. Суммой, разностью, произведением и частным последовательностей и называются, соответственно, следующие последовательности:

, , и , при этом, говоря о последней из них, предполагается, что для любого .

Теорема 1. ⊐ последовательности и сходятся.Тогда сходятся и последовательности (c- const), , и – последняя при условии и , – при этом

а) ,

б) (теорема о пределе суммы и разности)

в) (теорема о пределе произведения)

г) (теорема о пределе частного)

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Будем далее считать, что

, а .

(1)

Утверждение а) явл. частным случаем утверждения в), в частности, тем случаем, когда и поэтому в отдельном доказательстве не нуждается.

Докажем утверждение б). Для произвольного выберем номера и , соответственно, так, что ,

(вследствие (1) такие номера существуют). Но в силу свойства 4^о абсолютной величины

7. Предельный переход в неравенствах (для последовательностей).

Лемма 1. Если , и , то существует такой номер , что .

Д о к а з а т е л ь с т в о разбирается на лекции.

Теорема 2 (о предельном переходе в неравенстве). Если каждая из последовательностей и сходится и , то

.

Д о к а з а т е л ь с т в о с учетом леммы 1 устанавливается от противного.

Замечание. Из того, что , и , в общем случае, следует только, что ,а не то, что .

Для этого достаточно рассмотреть, например, следующие последовательности и :