48. Условия выпуклости функции.

О 1. Ф-ия наз. выпуклой (соотв., вогнутой) на промежутке , если для любых и любых таких, что имеет место неравенство:

(соотв., ). (1)

При этом, если это неравенство явл. строгим при и , то ф-ия наз. строго выпуклой (строго вогнутой).

Лемма 1. Для того, чтобы ф-ия была выпуклой (строго выпуклой) на промежутке необходимо и достаточно, чтобы для любых таких, что , выполнялось неравенство

(соответственно, ) (2)

Теорема 1 (критерий выпуклости функции в терминах первой производной)

Для того, чтобы дифференцируемая на интервале ф-ия была выпуклой (строго выпуклой) на нем необходимо и достаточно, чтобы её производная была неубывающей (соответственно, возрастающей) на интервале функцией.интервале функцией.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть ф-ия явл. выпуклой. Выберем произвольно , , и покажем, что (9)

Действительно, в силу леммы 1 имеем

Устремляя здесь сначала к , а затем к , в итоге получим: .

Откуда и следует (9).

Если же ф-ия - строго выпуклая на интервале , то для произвольно выбранных , , по лемме 1 будем иметь

Поэтому, с учетом установленной выше (нестрогой) монотонности производной , по теореме Лагранжа получим

,

где . Таким образом, строгая выпуклость функции влечет строгую монотонность ее производной , точнее гарантирует, что она явл. возрастающей на интервале функцией. Следовательно, необходимость доказана.

Докажем достаточность. Пусть производная функции неубывает (возрастает) на интервале . Докажем, что ф-ия явл. выпуклой (строго выпуклой).

Пусть Тогда по теореме Лагранжа:

,

где . Так как производная не убывает (возрастает) на интервале , то ( ), а значит, имеет место и неравенство (2), которое в силу леммы 1 и произвольности точек гарантирует выпуклость (строгую выпуклость) функции на □

49.Точки перегиба графика функции.

О 2. Пусть ф-ия определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки . Если существует такое , что на интервалах и ф-ия имеет разные направления выпуклости, т.е. на одном из них она выпукла, а на другом, напротив, вогнута, то точка ее графика наз. точкой перегиба.Если точка явл. точкой перегиба графика дважды дифференцируемой в точке функции , то в соответствии с Ом 2 и теоремой 1, а также ее аналогом для вогнутых функций, точка – точка локального экстремума производной и поэтому по теореме Ферма .

Таким образом, условие (10)

явл. необходимым для того, чтобы точка была точкой перегиба графика дважды дифференцируемой функции .

50.Мн-во вещественных чисел (натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа, модуль (абсолютная величина вещественного числа) и его свойства.

n^o1. Об основных понятиях. В нашем курсе понятие вещественного числа, а также ряд других связанных с ним понятий и некоторых относящихся к ним фактов предполагаются, в основном, известными из школьного курса математики. Освежить эти понятия можно, например, по книге А.М. Тер-Крикорова и М.И.Шабунина «Курс математического анализа».

Далее будут использоваться стандартные обозначения: