46.Условия монотонности функции.

Теорема 1. Пусть ф-ия дифференцируема на интервале . Тогда имеют место следующие импликации:

⇒ ⇒ , (1)

⇒ ⇒ , (2)

⇒ ⇒ , (3)

⇒ ⇒ . (4)

⇒ ⇒ , (5)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего заметим, что (5) следует из (2) и (3). Следовательно нужно доказать лишь (1)-(4).

Левые импликации в (1)-(5) доказываются на основе формулы конечных приращений Лагранжа. Выберем произвольные точки . По теореме Лагранжа найдется такая точка , что

Отсюда, в частности, следует, что если , то . В силу произвольности выбранных точек , это означает, что ф-ия возрастает на . Таким образом, доказана левая из импликаций (1). Аналогично доказываются левые импликации в (2)-(4).

Правые импликации в (1)-(4) доказываются на основе определения производной. Пусть, например, ф-ия возрастает на . Тогда для любого и любого такого, что имеем .

Переходя здесь к правостороннему пределу в точке , по теореме о предельном переходе в неравенстве получим

.

Так как выше точка была выбрана произвольно, то это означает, что имеет место правая из импликаций (1). Аналогично доказываются правые импликации в (2)-(4) □

47.Условия экстремума функции.Необходимое условие локального экстремума доставляет теорема Ферма. Очевидно, она допускает следующее усиление.

Теорема 1. Если ф-ия определена в некоторой окрестности точки и имеет в ней локальный экстремум, то либо ф-ия не дифференцируема в точке , либо

(1)

О 1. Если дифференцируемая в точке ф-ия удовлетворяет условию (1), то эта точка наз. стационарной точкой функции .Теорема 2. Пусть функции и дифференцируемы на конечном или бесконечном интервале , на и

.

Тогда если существует конечный или бесконечный предел , то существует и равный ему предел .

Замечание 2. Аналогичное утверждение справедливо и при замене условия на условие .

Следующая очевидная (в силу результатов предыдущего параграфа) теорема доставляет достаточное условие локального экстремума функции, а также достаточные условия отсутствия этого экстремума.

Теорема 2 (достаточное условие локального экстремума в терминах первой производной). Пусть ф-ия определена в некоторой окрестности точки , непрерывна в самой точке и дифференцируема в проколотой окрестности этой точки. Тогда если при “переходе” через точку “слева на право” производная меняет знак с плюса на минус, то в точке ф-ия имеет локальный максимум. Если же при таком переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, то в точке она имеет локальный минимум. Наконец, если при переходе через точку производная не меняет своего знака, то в этой точке нет локального экстремума. Теорема 3 (достаточное условие локального экстремума в терминах высших производных). Пусть ф-ия раз дифференциркема в точке ( ). Тогда если

(2) и , то при нечетном в точке нет локального экстремума, а при четном есть, при этом в последнем случае (т.е. при , ) если , то в этой точке она имеет локальный максимум, а если , то она имеет в ней локальный минимум.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу условия (2) локальная формула Тейлора функции в точке имеет вид , а поскольку , где при , то ее можно переписать в виде .