43.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Коши.
nо3. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Коши и в форме Лагранжа.
Теорема
2.
Пусть
ф-ия
и все ее производные до порядка
включительно являются непрерывными
ф-иями на отрезке
с концами в точках
и
,
а во внутренних точках этого отрезка
существует конечная производная
.
Тогда, для любой непрерывной на этом
отрезке функции
,
дифференцируемой во внутренних точках
этого отрезка и имеющей в каждой из этих
точек отличную от нуля производную,
существует такая точка
,
лежащая м/д точками
и
,
что остаточный член в формуле Тейлора
может быть записан в виде
. (1)
Д
о к а з а т е л ь с т в о. На отрезке
с концами в точках
и
рассмотрим ф-ию переменной
:
,где
.(формула
Тейлора с остаточным членов в форме
Лагранжа),
так
и в виде
(11)
(формула Тейлора с остаточным членом в форме Коши)□
44. Разложение эл-тарных функций по формуле Тейлора.
Разложение некоторых эл-тарных функцией по формуле Тейлора.
Если
,
то формула Тейлора функции
имеет особенно простой вид:
(1)
В этом случае она наз. формулой Маклорена. Остаточный член в ней в форме Пеано, Лагранжа и Коши, соответственно, имеет вид
,
,
и
.
Укажем разложения некоторых эл-тарных функций по формуле Маклорена.
.
Пусть
.
Эта ф-ия имеет производные любого порядка
и в любой точке
(в таких случаях говорят, что ф-ия
бесконечно
дифференцируема
на всей числовой оси).
Как
известно
Поэтому
формула Маклорена функции
имеет вид (
):
где остаточный член можно записать в любой из форм:
( в
форме Пеано)
( в
форме Лагранжа)
и
(в
форме Коши),
где
точка
в каждой из двух последних формул лежит
м/д точками
и
.
.
Пусть
.
Так как эта ф-ия бесконечно дифференцируема
на всей вещественной оси и
,
то
;
и,
следовательно,
При
этом остаточный член в форме Пеано имеет
вид:
,
соответственно остаточный член в форме Лагранжа выглядит следующим образом:
(2)
а остаточный член в форме Коши имеет
вид:
(3)
45.Правило Лопиталя.
При
вычислении пределов вида
в случаях, когда функции
и
одновременно являются б.м. или б.б. при
невозможно (напрямую) воспользоваться
теоремой о пределе частного. В первом
из этих случаев говорят, что имеет место
неопределенность типа
,
а во втором, – неопределенность
.
Достаточно универсальный рецепт
раскрытия этих неопределенностей,
содержится в приводимых ниже двух
теоремах и носит название правила
Лопиталя.
Теорема
1. Пусть
функции
и
дифференцируемы на конечном или
бесконечном интервале
,
на
и
(1)
Тогда
если существует конечный или бесконечный
предел
(2)
то
существует и равный ему предел
,
т.е.
(3)
Замечание
1. Аналогичное утверждение справедливо,
если в условиях этой теоремы заменить
всюду
на
.
Теорема 2. Пусть функции и дифференцируемы на конечном или бесконечном интервале , на и
. Тогда
если существует конечный или бесконечный
предел
,
то
существует и равный ему предел
.
Замечание
2. Аналогичное
утверждение справедливо и при замене
условия
на условие
.