36.Дифференцирование обратной функции

Теорема 3. Пусть ф-ия строго монотонна и непрерывна в окрестности точки . Пусть, кроме того, ф-ия дифференцируема в точке и . Тогда обратная к ней ф-ия дифференцируема в точке , причем

(1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условий теоремы следует, что существует конечный, отличный от нуля предел

Тогда по теореме о пределе частного существует конечный предел (2)

Рассмотрим ф-ию . (3)

В силу строгой монотонности функции она определена в проколотой окрестности точки . В точке ф-ия имеет конечный предел (2). Поэтому если доопределить ее в этой точке равенством ,то она будет непрерывной в этой точке. Тогда учитывая, что ф-ия непрерывна в точке (как обратная к непрерывной, строго монотонной функции ), по теореме о непрерывности суперпозиции заключаем, что сложная ф-ия будет непрерывной в той же точке и, следовательно, (4)

Но в силу (3) в некоторой проколотой окрестности точки имеет место равенство .

Поэтому из (4) следует, что ф-ия дифференцируема в точке и имеют место равенства (1) □

37. Дифференцирование эл-тарных функций. Таблица производных.

n^о 1. Таблица производных

Эл-тарные функции (за исключением функций и ) дифференцируемы в своих областях определения, причем справедливы следующие формулы (они обосновываются в следующих пунктах):

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

n^о 2. Показательная и логарифмическая функции.

Здесь будут установлены формулы , , и из предыдущего пункта. Прежде всего, напомним, что

(1)

и

(2)

Теперь используя равенство (2) и то, что постоянную можно выносить за знак предела получим:

=

Таким образом установлена формула .

Далее, так как ф-ия явл. обратной к функции , по формуле для производной обратной функции имеем: = .

Следовательно, установлена и формула .

Для вывода формулы установим формулу дифференцирования показательно-степенной функции.

, где и – дифференцируемые на некотором промежутке функции, причем на .

Используя формулу для производной сложной функции, формулы и , а также формулу для производной произведения функций будем иметь

Таким образом, .

В частности, если здесь , а , то

, т.е. установлена и формула .

Формула вытекает из формулы 2⁰ в силу формулы дифференцирования обратной функции: (здесь , ).

38.Локальный экстремум функции. Теорема Ферма.

О 1. Пусть ф-ия определена на мн-ве и локальный минимум (локальный максимум) , если существует такая окрестность этой точки, что

(1)

( ),

при этом точку называют точкой локального минимума (локального максимума) функции.

Замечание 1. Если внутренняя точка мн-ва , т.е. если она принадлежит ему вместе с некоторой своей окрестностью то в условии (1) вместо « » можно писать « », считая без ущерба для общности , что .

Замечание 2. Если в точке ф-ия имеет или локальный минимум или локальный максимум, то говорят, что она имеет в этой точке локальный экстремум, при этом точку называют точкой локального экстремума.

Замечание 3. Всякая точка максимума (минимума) фуркции на мн-ве , т.е. всякая точка , для которой

, ( ), иногда наз. точкой глобального минимума (глобального максимума) функции на мн-ве .

Очевидно, что всякая точка глобального экстремума, т.е. глобального максимума или глобального минимума, явл. также и точкой локального экстремума.

Теорема 1(Ферма). Пусть ф-ия определена на мн-ве , - внутренняя точка мн-ва и ф-ия дифференцируема в этой точке .Тогда, если – точка локального экстремума этой функции, то

. (2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для определенности будем считать , что ─ точка локального минимума . Тогда такое, что ( ─ внутренняя точка ) и

.

Поэтому (3)

. (4)

Из неравенства (3) , в силу дифференцируемости функции в точке и теоремы о предельном переходе в неравенстве, очевидно следует, что

(5)а из неравенства (4) , в силу того же, в свою очередь, следует , что (6)

из неравенств (5) и (6) и вытекает равенство (2) □