32.Понятие производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции в данной точке.

Понятие производной порядка . Пусть ф-ия определена в некоторой окрестности точки и дифференцируема в этой окрестности, т.е. дифференцируема в каждой точке . Тогда в окрестности определена новая ф-ия , которая, наз. производной функции на мн-ве . Если ф-ия имеет в точке производную, то ее называют второй производной или производной второго порядка функции в этой точке и обозначают одним из символов

при этом часто аргумент – точку, в которой вычисляется эта производная, опускают. Таким образом.

,при этом, если ф-ия дифференцируема в точке , т.е. имеет в ней конечную производную, то говорят, что ф-ия дважды дифференцируема в этой точке.Механический смысл второй производной. Если кинематический закон движения материальной точки вдоль некоторой кривой, т.е. если – путь, пройденный ей вдоль этой кривой к моменту времени из некоторой начальной точки, то, как известно, первая производная , если она существует, представляет собой мгновенную скорость точки в момент времени .

Вместе с тем отношение называют средним ускорением точки за отрезок времени , а предел (если он существует) называют ускорением точки в момент времени .

Таким образом вторая производная – ускорение точки в момент времени .

33.Дифференцируемые функции. Понятие дифференциала.

О 1. Если существует такая линейная ф-ия вещественного аргумента ( ), что приращение функции может быть представлено в виде

((1)

где при ,то ф-ия наз. дифференцируемой в точке , а соответствующая линейная ф-ия аргумента наз. ее дифференциалом в этой точке.

Дифференциал функции в точке обычно обозначается одним из символов:

или .

34.Арифметические операции с дифференцируемыми ф-иями.

Теорема. Пусть функции и определены в окрестности точки и дифференцируемы в этой точке. Тогда в этой точке дифференцируема и каждая из функций , , и (при ),причем

, (1)

, (2)

, (3)

. (4)

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Дифференцируемость функции и равенство (1) очевидно будут установлены, если будут установлены дифференцируемость функции и равенство (3). В этом случае достаточно будет рассмотреть ф-ию .

2. Дифференцируемость функции и равенство (2) вытекают из того, что имеют место равенства

и из того, что по условию существуют конечные пределы

и ,

при этом следует помнить, что дифференцируемость функции в точке равносильна существованию конечной ее производной в этой точке.

3. Дифференцируемость произведения функций и равенство (3).

Пусть .Тогда

,

35.Дифференцирование сложной функции

Теорема. Пусть ф-ия определена на интервале , а ф-ия определена на интервале , причем . Тогда если ф-ия дифференцируема в точке , а ф-ия дифференцируема в точке , то сложная ф-ия дифференцируема в точке и (1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу дифференцируемости функций и , соответственно, в точках и , имеем

(2)

И

(3)

Как известно , (4)

где - бесконечно малая при , причем без ущерба для общности можно считать, что , то есть можно считать, что ф-ия непрерывна в точке .

Из (3) и (4) следует, что

Подставляя сюда , и используя затем равенство (2), получим

и, следовательно, (5)

Поскольку ф-ия непрерывна в точке , а ф-ия непрерывна в точке и , то по теореме о непрерывности сложной функции

непрерывности сложной функции

.

А так как, кроме того, то из (5) следует, что существует конечная производная и имеет место равенство (1). Для завершения доказательства теоремы остается вспомнить, что существование конечной производной равносильно дифференцируемости функции в точке 