30.Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке ф-иях.

Теорема 1 (первая теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на отрезке ф-ия ограничена на этом отрезке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное. Тога для любого натурального найдется такая точка , что . (1)

Так как последовательность ограничена ( ), то по теореме Больцано-Вейерштрасса она содержит сходящуюся подпоследовательность . Пусть

при .

Очевидно, что (для того, чтобы убедиться в этом достаточно в неравенствах перейти к пределу при ). Поэтому в силу непрерывности функции на отрезке

Следовательно, последовательность ограничена, что, противоречит тому, что согласно (1)

Теорема 2 (вторая теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на отрезке ф-ия достигает на нем своих точных верхней и нижней граней, т.е. существуют такие точки ,что , .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем, например, утверждение теоремы относительно точной верхней грани. Доказательство проведем от противного. А именно, положим и предположим, что .

Тогда, очевидно, ф-ия будет непрерывной на отрезке . Поэтому по теореме 1 она будет ограниченной на этом отрезке. В частности, найдется такое , что

Следовательно , а это противоречит тому, что □ Следствие. Мн-во значений непрерывной на отрезке функции явл. отрезком , где , .

31. Критерий непрерывности монотонной функции. Теорема об обратной функции кнепрерывной и строго монотонной функции.

n^o1. Теорема об обратной функции к непрерывной строго монотонной функции.

Прежне всего напомним, что по следствию из второй теоремы Больцано-Коши

если ф-ия определена и непрерывна на конечном или бесконечном промежутке , то мн-во ее значений также есть промежуток , где

.

Это утверждение дополняет следствие из второй теоремы Вейерштрасса:

Мн-во значений непрерывной на отрезке функции явл. отрезком , где

, .

В свою очередь, последнее утверждение дополняет следующая

Теорема 1 (критерий непрерывности монотонной функции). Для того, чтобы монотонная на отрезке ф-ия была непрерывной на нем, необходимо и достаточно, чтобы мн-во ее значений было отрезком.

Напомним также, что справедлива следующая важная

Теорема 2 (об обратной функции к непрерывной, строго монотонной). Пусть ф-ия непрерывна и строго монотонна на отрезке . Тогда существует обратная к ней ф-ия , которая явл. непрерывной и строго монотонной в том же смысле, что и ф-ия .

Следствие. Пусть ф-ия непрерывна и строго монотонна на произвольном промежутке . Тогда обратная к ней ф-ия непрерывна и строго монотонна (в том же смысле что и ф-ия ) на промежутке .

n⁰2. Непрерывность монотонных функций.

Теорема 3 (критерий непрерывности монотонной функции). Для того, чтобы монотонная на отрезке ф-ия была непрерывной на нем, необходимо и достаточно, чтобы мн-во ее значений было отрезком.

Теорема 4 (об обратной функции к непрерывной, строго монотонной). Пусть ф-ия непрерывна и строго монотонна на отрезке . Тогда существует обратная к ней ф-ия , которая явл. непрерывной и строго монотонной в том же смысле, что и ф-ия .

Справедливо следующее обобщение теоремы 4.

Следствие. Пусть ф-ия непрерывна и строго монотонна на произвольном промежутке . Тогда обратная к ней ф-ия непрерывна и строго монотонна в том же смысле на промежутке .