3. Визначте алгебраїчну структуру (й, ®), таку, що для будь-якої ггідмножини ГсЙ правильно, що (т, ®) — підструктура струк­тури (5, ф).

4. Визначте, чи коректно задана алгебраїчна структура. Якщо так, визначте, чи комутативна операція і, якщо можливо, знайдіть одиницю і обернені елементи. Тут N — множина натуральних чисел, 2— множина цілих чисел, Я,—додатна підмножина множини дійсних чисел:

а) (Л^, ®); х 0 у = х - у;

б) (£, ®); х®у*=х*у - 1;

в) (ІУ, ®); х ® у = тах(х, у)\

г) (#+, ®); х ® у = х/у.

3. Доведіть, що:

а) дві алгебраїчні структури не можуть бути ізоморфними, якщо множини-носії цих структур мають різні потужності;

б) дві алгебраїчні структури можуть не бути ізоморфними, якщо множини-носії цих алгебр мають однакові потужності.

3. Нехай С — множина структур з однією бінарною операцією, С = {5і, вг, —}• Визначимо відношення ~ на множині С, таке, ЩО 5; ~ виконується, ЯКЩО 5/ І ізоморфні. Доведіть, що ~ є відношенням еквівалентності на множині С.

12. Найпростіші алгебраїчні структури

Півгрупа, моноїд, група, абелева. група

Розглянемо основні типи алгебраїчних структур, які мають тільки одну бінарну операцію.

Визначення

Півгрупою називається алгебраїчна структура з множи- ною-носієм А і бінарною операцією ®: А²—>А, яка задо­вольняє властивості асоціативності:

х <8> (у ® г) = (х ® у) ® г; х, у, г є А.

Визначення

Моноїдом називають алгебраїчну структуру з множиною-

носієм М і бінарною операцією ®: М² -» М такою, що

3. ® асоціативна:

х ® (у ® г) = (х ® у) ® 2, для всіх х, у, г є М.

3. Існує е є М— одиниця відносно ®:

Є®Х=‘Х = Х®Є для всіх х є М.

Таким чином, моноїд — це півгрупа з одиницею.

Півгрупи і моноїди використовуються при обробці рядків символів. Розглянемо приклад.

Приклад. При обробці рядків символів вводиться операція конкатенації — злиття рядків. Позначимо її *. Конкатенація визначається як а • Р = оф, де а і Р — рядки символів. Візь­мемо рядки: «пар», «сам», «о», «воз», «ход», «вар». Застосу­вавши операції конкатенації, одержуємо такі рядки:

«пар» • «о» = «паро»

«сам» • «о» = «само»

«паро» • «воз» = «паровоз»

«паро» • «ход» = «пароход»

«само» • «вар» = «самовар».

Очевидно, що ця операція асоціативна, оскільки («пар» • «о») • «воз» = «пар» • («о» • «воз») ==

= «паровоз» і т. д.

Отже (А*, •) є півгрупою, де А* — множина різних рядків, що складаються з букв українського алфавіту. Якщо тепер ми позначимо через А* множину всіляких рядків, що складаються

з букв українського алфавіту і порожнього рядку є, то одержи­мо структуру (А\ •), яка є моноїдом з одиничним елементом є. Оскільки є позначає порожній рядок, то можемо записати є = « ».

«самовар» • «» = «» • «самовар» = «самовар» і т. д.

Визначення

Групою називають множину О з бінарною операцією ®,

що замкнена в С, такою, що

12. ® асоціативна:

х ® (у ® г) = (х ® у) ® 2 для всіх х> у, г є <3.

3. Існує елемент е є Є — одиниця відносно ®: е®х = х®е = х ДЛЯ ВСІХ X є С.

4. Кожному елементу х є Є відповідає обернений елемент х' є (З відносно ®:

х'®х — х®х'~е для ВСІХ X є Є.

Із визначення маємо, що група — це моноїд, в якому всі елементи оборотні.

Часто до слів «група» і «моноїд» приписують термін «ко­мутативний». Це означає, що операція у розглянутій структурі задовольняє властивість комутативності, тобто

у ® х — х ® у для всіх х, у є М або О.

Комутативна група називається абелевою групою (на честь норвезького математика Абеля).

Приклади. 1. Групою є множина дійсних чисел разом з опе­рацією додавання: (і?, +), підгрупою цієї групи є , +), де Z — множина цілих чисел. Структура (К, +), де К — множина цілих чисел, що кратні к, /г є ІУ, є підгрупою групи (7,, +). Для цих груп одиницею є 0, обернений елемент утворюється за допомогою застосування унарної операції зміни знака «-». Наведені групи є абелевими групами, оскільки додавання ко­мутативне.

12. Структура (7^і/, +), де N — множина натуральних чисел, не є групою, оскільки не існує обернених елементів і одиниці. Насправді, (ТУ, +) — півгрупа.

13. Структури (Я, *) і (./V, *) не є групами, а є моноїдами. Одиничним елементом для операції множення є 1. Обернені елементи існують на множині дійсних чисел Я для всіх еле­ментів, крім 0: не існує О'¹, такого, що 0 * О'¹ — 1. Таким чином, операція множення задає групу на множині дійсних чи­сел, крім нуля (#\{0}, *). Додатна підмножина множини дійсних чисел з операцією множення (#+, *) теж є групою— підгрупою групи (Д\{0}, *). Множення комутативне, отже, ці групи є абе- лепими.

Позначимо М„ (і?) множину всіх квадратних матриць порядку п з елементами з множини дійсних чисел. Структура (М „(II), +) — комутативний моноїд з одиницею — нульовою мат­рицею. Структура (М„(і?), *) — некомутативиий моноїд з одини­цею одиничною матрицею.

3. Структура (Z„, ©_п)— група з одиницею 0 і оберненим елементом х' = п - х; (Z_n, ®„) —■ моноїд з одиницею 1.

Для розв’язку рівнянь необхідно існування та єдиність оди­ниць і обернених елементів. Доведемо ці твердження.

Твердження 1. Нехай ® — операція на множині А й існує одиниця е відносно ®, тоді одиничний елемент єдиний.

Доведення. Нехай е і е' — дві одиниці відносно ®. Тоді для будь-яких а, b є А правильне а = е' ® a, b = b ® е. Підставляючи а — е, b - <?', одержуємо е = е' ® е - е'.

Твердження 2. Нехай ® — асоціативна операція на мно­жині Aie — одиниця відносно ®. Тоді, якщо х є А і х має обернений елемент, то обернений елемент єдиний від­носно ®.

Доведення. Припустимо, що х' і х" — обернені елементи до х, так що

X ® X^і — х' ® X — Є, X ® х" = X" ® X = Є,

тоді

х' — х' ® е — х' ® (л: ® х") = (х' ® х) ® х" = е ® х" = х".

Всередині групи (G, ®) можна розв’язати рівняння а ® ® х = Ь.

До рівності а ® х — b застосуємо зліва а' — обернений до а елемент і послідовно одержуємо:

а' ® (а ® х) = а' ® Ь_у

(а' ® а) ® х = а' ® b (® асоціативна),

е ® х = а' ® b (властивість обернених елементів),

х = а' ® b (властивість одиниці); х — розв’язок.

Існування одиниці та обернених елементів відносно деякої операції накладає значне обмеження на вид таблиці Келі для цієї операції. Розглянемо групу (Z₇, @₇)- Таблиця Келі (див. р. 3.1) для операції ©₇ виглядає таким чином:

©,	0	1	2	3	4	5	6
0	ж	1	2	3	4	5	6
1	і	X	3	4	5	6	0
2	2	3	Ч	5	6	0	1
3	3	4	5	X	0	1	2
4	Л	5	6	0	X	2	3
5	5	6	0	1	2	X	4
6	6	0	1	2	3	4	X

Одиницею відносно операції ®₇ є 0. Таблиця симетрична відносно діагоналі — ця умова визначає комутативність опе­рації. Заувалсимо, що кожний стовпчик таблиці містить всі елементи групи.

Твердження 3. Будь-який стовпчик таблиці Келі для опе­рації скінченної групи містить всі елементи групи.

Доведення. Розглянемо деяку групу (О, ®), й — скінченна множина. Припустимо, що деякий стовпчик а, таблиці Келі для операції ® не містить якого-небудь елемента множини Є. Тоді якийсь інший елемент а, в цьому стовпчику повинен зустріти­ся двічі, скажімо, у йому та /-ому рядках. Але тоді а_и ® а, — = а_у, а, ® а, = а; і отже,

а,. ® а, = а,® а„

а_к ® а, ® а/ = а, ® а, ® а/

(помножуємо обидві частини рівності на а/), а_и ® е — а,® е,

(а,® а/ = е за визначенням оберненого елемента),

а,, = аі (а, ® е = а_к за визначенням одиниці).

Одержуємо а*= а,_у що неможливе, оскільки тут а_к, а, — еле­менти групи, що задають різні рядки таблиці. Таким чином, ї-й стовпчик таблиці Келі є перестановкою на множині еле­ментів групи.

Запитання

3. Дайте визначення півгрупи, моноїду і групи.

4. Наведіть приклади півгрупи, що не є моноїдом, і моноїду, що не є групою.

5. Наведіть приклади групи.

6. Яка група називається абелевою? Наведіть приклади.

7. Які властивості елементів групи роблять можливим розв’язок рівнянь усередині групи?

8. Які властивості має таблиця Келі для скінченної групи?

9. Які властивості має операція абелевої групи?

Завдання

1. Доведіть, що в групі (Є, ®) для всіх а, Ь, с є б виконується:

а) якщо а ® Ь = а ® с, то Ь = с, і, якщо Ь ® а = с ® а, то Ь = с;

б) (а')' = а — обернений елемент до оберненого елемента до а дорівнює а.