Назвіть відношення, одержане в результаті операції з’єднання Фірма-продукція-телефон.

3. Виберіть два варіанти виконання операції проекції до відношен­ня Фірма-продукція-телефон. За якими атрибутами ви робили проекції?

4. Виконайте обмеження відношення Фірма-продукція-телефон за умови:

а) Продукція = меблі;

б) Продукція = матеріали для ремонту, Місто = Харків;

в) Місто = Одеса.

Як змінюється число кортежів і (або) атрибутів відношення під час виконання вивчених нами операцій. Розгляньте кожну операцію окремо.

розділ З

Алгебраїчні структури

3. Алгебраїчні операції та їх властивості

Унарна операція, бінарна операція, п арна операція, операнд, записи infix, prefix, postfix, таблиця Келі, кому та ти вніс ть, асоціативність, дистрибутивність, одиниця, обернений елемент, операції додавання та множення за модулем.

Поняття алгебраїчної структури включає визначену множину об’єктів та операцій над цими об’єктами. Оскільки практично в будь-якій задачі обробки даних за допомогою комп’ютера виділяється множина самих даних і операції, які застосовні до цих даних, очевидно, що при цьому формуються визначені алгебраїчні структури. Ми вже знайомі з алгебраїч­ними структурами на множині натуральних, цілих і дійсних чисел, на множинах та відношеннях. Розглянемо такі алгеб­раїчні структури, як півгрупи, моноїди і групи, що, зокрема, використовуються для перетворення рядків символів і беруть участь у формуванні більш складних структур — кілець і йо­лів. Ці поняття є базовими для загальної та лінійної алгебри, використовуються під час роботи з матрицями, при кодуванні інформації та обробці даних.

Визначення

Операцією на множині S називається функція f, яка є відображенням виду S" -> S, п є N, де S" — декартів добуток S х S Х...Х S, в який S входить п разів.

У цьому визначенні є два важливих моменти. По-перше, оскільки операція є функцією, то результат застосування опера­ції визначено однозначно. Тому даний упорядкований набір з п елементів множини S функція f переводить тільки в один елемент із S. По-друге, операція замкнена (див. п. 4.8) на S у тому розумінні, що область визначення та область значень операції лежать у S" і S відповідно.

Стверджують, що операція S" —> S має порядок п або є п арною операцією. Частіше зустрічається ситуація, коли поря­док дорівнює 1 або 2. Операції виду S S називають унарними, а операції S² —> S називають бінарними. Елементи упорядкова­ного набору з п елементів в області визначення Sⁿ називають операндами. Операції звичайно позначають символами, що на­зивають операторами. У випадку унарних операцій звичайно символ оператора ставлять перед або над операндом.

Приклади. Прикладами унарних операцій є операція зміни знаку (-) на множині дійсних чисел JR(-2,678; - 56), операція зведення до степеня (наприклад, до квадрату) на множині R: 56², 7*. В алгебрі множин прикладом унарної операції є операція доповнення множин. Бінарними операціями на множині дійсних чисел R є арифметичні операції — додаван­ня, віднімання, множення, ділення (+, -, *, /). В алгебрі множин бінарними є операції — об’єднання (и), перетин (п), різниця (\).

Операції записують одним з трьох способів. У першому випадку оператор ставиться між операндами (infix), у друго­му — перед операндами (prefix) і у третьому — після операндів (postfix). Розглянемо три варіанти запису бінарної операції арифметичного виразу а + Ь.

infix: а + Ь, prefix'. 4-ab, postfix: ab-\-.

Відповідно до більшості математичних текстів ми будемо використовувати позначення infix. Форми запису postfix і prefix мають ту перевагу, що не потребують дужок при визначенні порядку обчислень складних виразів, і це робить їх особливо зручними для автоматичної обробки. Вони часто використо­вуються для представлення виразів у пам’яті

Алгоритм обчислення значень виразу, що записаний у формі postfix, виглядає так:

3. При перегляді запису зліва направо виконується перша знайдена операція, якій безпосередньо передує достатня для неї кількість операндів.

4. На місці виконаної операції і використаних для цього опе­рандів у рядок записується результат виконання операції.

5. Повертаємося до кроку 1.

Приклад. Нехай є вираз, який у стандартній звичній для нас /л/ілг-формі виглядає так:

14-2*3 +(4 + 5* (6 + 7)).

Результат переведення його до postfix буде таким:

123 * + 4567 + * + +.

Обчислимо тепер значення виразу, використовуючи наве­дений алгоритм:

12. 3*+4567+*++=16+4567+*++=

= 7 4 5 6 7 + *+ + = 7 4 5 13 * + + = 7 4 65 + + =

• 7 69 + = 76.

Аналогічно записуються вирази з нечисловими змінними в алгебраїчній формі. Наведені пари виразів записані у формах infix і postfix відповідно:

a )(a + b)*c + d-\-e*f + g, ab + c*d + ef* + g+;

б )a + (b*(c + d) + e)*f + g, abcd + *e + f*+g+. Крім стандартних відомих нам операцій (наприклад, +, *), існує багато інших. Ми будемо використовувати символи® і в для позначення абстрактних бінарних операцій. Інак­ше кажучи, символи ® і© використовуються як змінні для позначення будь-яких операцій. Бінарні операції, визначе­ні на скінченних множинах, зручніше задавати за допомо­гою таблиць. Таблиця (табл. 3.1), що задає деяку бінарну операцію ® на деякій множині .А, називається таблицею Келі, її рядки та стовпці нумеруються елементами множини А, а елементом таблиці, що стоїть на пе-

ретині рядку а, і стовпця a_h є елемент _Ta6™"^u£tJj_Jlx ® а,, — а, ® aj.

Приклад. Нехай операція ® визна­чена на множині {а, Ь, с) за допомогою таблиці 3.1.

Отже, а ® Ь = а, Ь ® Ь = а, с ® Ь = Ь, ...

Очевидно, що використання таблиць має велике значен­ня, оскільки деякі операції, з якими доводиться мати справу в комп’ютерній математиці, не придатні для словесного зав­дання.

Наведемо важливі властивості, які можуть мати опе­рації.

Визначення

Нехай дано множину А, на якій визначено деяку бінарну операцію ®. Якщо а ® Ь = Ь ® а для всіх а, Ь є А, то стверджують, що бінарна операція ® на множині А має властивість — комутативність.

Якщо (а ® Ь) ® с = а ® (Ь ® с) для всіх а, Ь, с є А, то стверджують, що бінарна операція ® на множині А має властивість — асоціативність.

Нехай на множині А визначено дві бінарні операції ®

і ®. Якщо для всіх а, Ь, с є А виконується а ® (Ь © с) = = (а ® Ь) Ф (а ® с), то стверджують, що операція ® має властивість — дистрибутивність відносно операції Ф.

Зауважимо, що у визначенні асоціативності порядок операн- дів а, Ь і с збережено (операція може бути некомутативною)

і використано круглі дужки, щоб вказати порядок виконання операцій. Таким чином, вираз (а ® Ь) ® с потребує, щоб спо­чатку обчислювалося а® Ь і потім результат цього (скажімо, х) брав участь в операції х ® с як перший операнд. Якщо опе­рація асоціативна, то порядок обчислень несуттєвий і, отже, дужки не потребуються.

Приклад. Звичайна бінарна операція додавання (+) на множині дійсних чисел і? комутативна і асоціативна, а опера­ція віднімання (-)— некомутативна і неасоціативна, тобто

а + Ь *= Ь + а_у але а - Ь * Ь - а;

(а + Ь) + с = а + (Ь + с)_у але (а - Ь) - с # а - (Ь - с).

Крім того, на множині дійсних чисел И множення дист­рибутивне відносно додавання, а додавання не дистрибутивне відносно множення, тобто

а * (Ь + с) = а * Ь + а * с, (а + Ь) * с — а * с + Ь * с,

але а + (Ь * с) * (а + Ь) * (а + с).

Для розв’язання рівнянь відносно кожної операції у множи- ні-носії алгебраїчної структури виділяється особливий елемент, що називається одиничним елементом.

Визначення

Якщо для бінарної операції ® на множині А існує еле­мент е є А такий, що для всіх а є А

е®а = а®е — а,

тоді е називається одиницею відносно до операції ®. Нехай ® — операція на А з одиницею е і елементи х, у є А задовольняють рівності

х®у = е- у®х.

Тоді у називається оберненим елементом до х відносно до операції ®, і х називається оберненим елементом до у відносно операції ®.

Іноді розрізняють ліві та праві одиниці (Єл_іи. ® а ■= а або а ® е_прпп. = а для будь-якого а є А) і ліві та праві обернені еле­менти, однак у більшості випадків одиниці є двосторонніми, як у нашому визначені.

У випадках, коли бінарна операція вважається аналогічною множенню (*), одиничний елемент позначається 1, а обернений до елемента х елемент записується у вигляді х'^х. Коли бінарна операція вважається аналогічною додаванню (+), одиничний елемент позначається 0, а обернений до елемента х елемент записується у вигляді -х. Будемо також позначати обернений елемент до х як х'.

Наведемо приклади одиниць і обернених елементів. На множині дійсних чисел Я правою одиницею відносно до відні­мання та одиницею відносно додавання є 0, оскільки

а - 0 = а, але 0 - а * а, якщо а ф 0;

а + 0 = аі0 + й = с для всіх а.

В алгебрі множин для операції об’єднання и одиничним елементом є порожня множина 0, для операції перетину оди­ницею є універсальна множина и.

Для подальшого необхідно визначити операції додавання тм множення за модулем п на множині цілих чисел.

Визначення

Нехай п — довільне натурально число. Додавання за модулем п цілих чисел а і Ь називається алгебраїчна опе­рація, результатом якої є решта від ділення суми а + Ь на п. Множенням за модулем п чисел а і b називається алгебраїчна операція, результатом якої є решта від ділен­ня добутку а * Ь на п. Ці операції (позначимо їх Ф„, ®„) визначені на множині цілих невід’ємних чисел Z+:

а Ф„ b = с, так, що a + b = k*n + c, 0 <с < п;

3. b, k є Z+

а ®„ b = d, так, що a*b = f*n + d, 0 <, d < п;

12. b, f є Z+

Областю значень цих операцій є множина цілих невід’ємних чисел, менших за п, позначимо її Z_n, Z„={0, 1, ..., п- 1}. Часто використовується позначення

а + Ь = с (mod п), а х Ь е d (mod ті)

для додавання та множення за модулем п.

Приклад. Наведемо приклади додавання та множення за модулем п.

• Ф₃ 2 = Зал. (4/3) = 1, 2 ®₃ 2 = Зал. (4/3) - 1,

2. Ф₄ 2 = Зал. (4/4) = 0, 2 ®., 2 = Зал. (4/4) - 0,

7 ©₁₀ 8 * Зал. (15/10) = 5, 7 ®₁₀ 8 = Зал. (56/10) = 6,

7 @]₂ 8 ** Зал. (15/12) = 3, 7 ®₁₂ 8 = Зал. (56/12) = 8.

Запитання

1. Дайте визначення операції і наведіть приклади операцій, що задані на різних множинах.

2. Які з наведених дій, що задані на множині натуральних чисел /V, можна назвати операціями:

а) збільшення на 1;

б) знаходження числа, кратного даному;

в) додавання за модулем 5;

г) знаходмсення числа, меншого, ніж дане;

д) знаходження найбільшого спільного дільника;

е) знаходження числа, яке при діленні на 7 дає у залишку 6.

Що називається порядком операції? Наведіть приклади унар­ної, бінарної, п-арної операції.

3. Що називається оператором? Наведіть приклад.

4. Що являють собою форми запису infix, prefix і postfix? На­ведіть приклади. Чому форма запису infix менш зручна для автоматичної обробки?

5. Які операції можна та зручно задавати за допомогою таблиць. Чому?

6. Дайте визначення властивостей асоціативності, дистрибутивно­сті та комутативності операції. Наведіть приклади.

7. При виконанні якої умови елемент е називається одиницею відносно деякої операції ®?

8. Що таке обернений елемент до деякого елементу х відносно деякої операції ®?

9. Чи є існування одиниці необхідною і (або) достатньою умовою для існування обернених елементів?

Завдання

1. Визначте, чи замкнені дані операції відносно даних множин.

Заповніть таблицю позначеннями «З» — замкнена або «Н» — не замкнена.

	X + у	X * у	X-IJ	1* - у\	тах(*, у)	тііі(*, у)	-х	|*|
7; (цілі числа)
N (натуральні числа)
{*Іо< *<; ю, х <в Z)
{*1-5 £*<5, х є Z}
(хІ-10 х <0, х е Z}
{2х\0 <, х < 10, х є Z)