Функция распределения случайной величины

Определение 1. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), выражающая для каждого x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x:

.

Определение 2. Cлучайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

Свойства функции распределения

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0.1]: .

2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси, т.е. если х₁< х₂, то F(x₁)≤ F(x₂).

3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а, в) равна приращению функции распределения на этом интервале:

4. 

5. Если все возможные значения случайной величины Х находятся на интервале (а, b), то F(x)=0 при х≤а и F(x)=1 при .

6. , .

Определение. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию - первую производную от функции распределения F(x): .

Плотность вероятности существует только для непрерывных случайных величин.

Свойство плотности вероятности непрерывной случайной величины Х.

1. Плотность вероятности – неотрицательная функция, т.е. f(x)≥0.

2. .

3. Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения случайной величины .

4. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервале [а, в] равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от а до в, т.е. .

Формулы для математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины