Литература

1. Гмурман В.С. (Владимир Ефимович) Теория вероятностей и математическая статистика. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей.

3. Кремер Н.Ш. (Наум Шевелевич) Теория вероятностей и математическая статистика.

4. Гнеденко Б.В. (Борис Владимирович) Курс теории вероятностей.

5. Бочаров В.В. Теория вероятностей и математическая статистика.

Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей есть наука, изучающая закономерности в случайных явлениях

Случайное явление –это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по –иному.

Пример 1. Производится стрельба из орудия. Пользуясь методами внешней баллистики, можно найти теоретическую траекторию снаряда. Эта траектория вполне определяется условиями стрельбы: начальная скорость снаряда, угол бросания снаряда. Если произвести несколько выстрелов при неизменных основных условиях , мы получим не одну теоретическую траекторию, а целый пучок траекторий, образующих «рассеивание снарядов». Фактическая траектория каждого из снаряда неизбежно отклоняется от теоретической за счет влияния совокупности факторов: метеорологические, отклонение веса снаряда от номинала и т. д.

Пример 2. Одно и то же тело взвешивается несколько раз на аналитических весах. Результаты повторных взвешиваний несколько отличаются друг от друга. Это различие обусловлено влиянием второстепенных факторов.

В природе нет ни одного физического явления, в котором не присутствовало бы в той или иной мере элементы случайности. Как бы точно и подробно ни были фиксированы условия опыта, невозможно достигнуть того, чтобы при повторении опыта результаты полностью и в точности совпадали.

Существуют два подхода к изучению этих явлений. Один из них состоит в том, что выделяются основные решающие факторы, а влиянием остальных, второстепенных факторов просто пренебрегают. Такая схема изучения явлений постоянно применяется в технике, физике, механике. При исследовании многих явлений (прежде всего социально-экономических) такой подход неприемлем. В этих явлениях необходимо учитывать не только основные, но и второстепенные факторы, приводящие к случайным искажениям результата, т.е. вносящих в него элемент неопределенности. Элемент неопределенности требует создания специальных методов для изучения таких явлений. Такие методы разрабатываются в теории вероятностей.

§1. События и операции над ними

Теория вероятностей – это раздел математики, в котором изучаются теоретические модели опытов со случайными исходами. Эти опыты полностью характеризуются наборами всех возможных их исходов . Понятие исхода опыта является первичными и не определяется. Множество всех исходов данного опыта мы будем обозначать буквой : .

Определение1. Любое подмножество множества называется событием.

Само множество при этом называется достоверным событием и его пустое подмножество называется невозможным событием.

Пример А={Выпадение не более шести очков при бросании одной игральной кости}- достоверное событие.

В={Появление 12 очков при бросании одной игральной кости}-невозможное событие.

Если исход принадлежи событию А, то мы будем говорить также, что исход благоприятствует событию А. Согласно данному определению все исходы являются элементарными событиями, а все множество - пространством элементарных событий.

Пример 1. При бросании монеты возможны 2 элементарных исходов (событий):

- выпадение орла

- выпадение решки,

т.е. пространство элементарных событий

Пример 2. При бросании игральной кости возможны следующие элементарные исходы: - выпадение 1 очка, - выпадение 2 очков, - выпадение i-очков, - выпадение 6 очков. Т.е. пространство элементарных событий . Событие А, состоящее в выпадении четного числа очков есть .

Определение 2. Событие А влечет за собой событие В, если всякий исход, принадлежащий событию А, принадлежит и событию В и пишут .

Определение 3. Два события А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же исходов. А=В.

Определение 4. Событие , состоящее из всех исходов , не принадлежащих событию А, называется противоположным событию А.

Определение 5. Суммой двух событий А и В называется событие, состоящее из исходов принадлежащих либо событию А либо событию В, обозначается таким образом: . - (Появление хотя бы одного из этих событий А и В).

Пример1. Опыт состоит в пяти выстрелах по мишени. Тогда могут произойти следующие события:

А₀- ни одно попадание; А₁ – ровно одно попадание; А₂ – ровно два попадания;

А₃ – ровно три попадания; А₄ – ровно четыре попадания; А₅ – ровно пять попаданий;

А = А₀+ А₁+ А₂- есть событие «не более двух попаданий»;

В= А₃+ А₄+ А₅ – есть событие «не менее трех попаданий».

Пример2. А – попадание в цель при первом выстреле; В – попадание в цель при втором выстреле, тогда А+В – попадание в цель вообще, безразлично при каком выстреле.

Определение 6. Разностью двух событий А и В называется событие, состоящее из всех исходов принадлежащих событию А и не принадлежащих событию В. = А – В.

Определение 7. Произведением двух событий А и В называется событие, состоящее из исходов принадлежащих и событию А и событию В одновременно, обозначается таким образом: .

Пример 1. А –появление туза при вынимании карты из колоды, событие В – появление карты бубновой масти, то событие АВ – есть событие появление бубнового туза.

Пример 2. Пусть производятся два выстрела по мишени. А – попадение при первом выстреле, В – попадение при втором выстреле. То АВ – попадение при обоих выстрелах.

Определение 8. Два события А и В называются несовместными, если они не имеют общих исходов, т.е. .

Введенные операции обладают следующими свойствами:

1. - переместительный закон, -

2. 

3. 

4. 

5. 

Система событий называется полной группой событий, если она осуществляет разбиение пространства на попарно непересекающиеся события, удовлетворяющие следующим условиям:

1) при ;

2) .

Пусть - пространство элементарных событий, соответствующее эксперименту с однократным подбрасыванием игральной кости. Тогда оно может быть разбито, например, на следующие полные группы событий:

1)

2)