- •Предмет теории вероятностей
- •§1. События и операции над ними
- •§ 2. Определение вероятности
- •§ 3. Классическое определение вероятности
- •§ 4. Основные свойства вероятностей
- •§5 Условная вероятность события
- •§6. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •§ 7. Геометрическая вероятность
- •§2. Случайные величины
- •§3. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •§4. Основные законы распределения дискретных случайных величин.
- •Функция распределения случайной величины
- •Свойства функции распределения
§6. Формула полной вероятности и формула Байеса
Теорема 1. Пусть полная группа событий из . Тогда для события имеет место формула, называемая формулой вероятности:
.
Доказательство. Так как и события и не пересекаются при , то
.
Пример 1. На продажу в магазин поступили однотипные изделия с двух заводов А и В. С завода А поступило 200 изделий, с завода В 800 изделий. При этом 50% изделий, доставленных с завода А, изготовлены в одном из цехов этого завода, 30% в другом и 20 % в третьем. Брак составляет соответственно 1,5%, 2% и 2,5%. Аналогично, 60% изделий, поступивших с завода В, изготовлено в одном цехе, а 40% - в другом. Брак составляет соответственно 1,5%, 2%. Какова вероятность того, что наугад выбранное изделие является дефектным?
Решение:
Обозначим {выбранное изделие принадлежит i-му цеху завода В}, i=1, 2, 3.
{выбранное изделие принадлежит j-му цеху завода В}, j=1, 2.
События , , , , образуют полную группу.
Следовательно, ,
где А ={выбранное изделие является дефектным}. Найдем вероятности, входящие в данную формулу.
; ; ;
; .
; ; ;
; .
Следовательно .
Пример 2. Из колоды карт последовательно без возвращения вытаскивается 3 карты. Какова вероятность того, что 3-я карта будет тузом, если известно, что первая карта является тузом.
Обозначим {вторая карта туз}, {вторая карта не туз}.
Тогда .
; ; ; .
Следовательно, .
Теорема 2. Пусть образуют полную группу событий из . Тогда имеет место формула Байеса:
, i=1,..,k.
Пример 1. Два стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу по общей мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, а для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку?
Обозначим {первый стрелок попадет в мишень }, {второй стрелок попадет в мишень}, А={в мишени будет обнаружена одна пробоина}.
Имеем, .
Так как , то
Следовательно с учетом того, что и получаем ; .
Пример 2.
Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру равна 0,6, к 2-му – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет призвана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым -0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.
Решение. Обозначим {деталь проверил первый контролер}, { деталь проверил второй контролер}, А={деталь признана стандартной}.
.
§ 7. Геометрическая вероятность
Пусть - некоторое множество на числовой прямой (на плоскости или в пространстве), имеющее конечную длину (площадь или объем) .
Р ассмотрим все возможные подмножества , имеющие конечную длину (площадь или объем). Ясно, такие подмножества образуют алгебру событий. Введем на этой алгебре вероятность по формуле . Эта вероятность носит название геометрической вероятности и представляет собой вероятность попадания брошенной наугад точки в фигуру S при условии, что эта точка обязательно попадет в .
Пример. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождение причала, если время стоянки обоих пароходов – 2 часа.
Решение. Пусть х и y время прихода пароходов к причалу. Тогда встреча состоится тогда и только тогда, когда .
.