§2. Случайные величины
Определение 1. Пусть
- вероятностное пространство. Числовая
функция X(
),
определенная на
называется случайной величиной
дискретного типа, если она принимает
конечное или счетное множество значений
,
причем множество
=
являются
событиями для всех значений
величины
X(
).
Определение 2. Функция f( )=P(X= ) называется законом распределения случайной величины Х.
Последовательность
,
где
=
f(
)
называется рядом распределения случайной
величины Х.
График функции = f( ) называется многоугольником (полигоном) распределения вероятностей.
Определение 3. Две дискретные
случайные величины
и
называются независимыми, если события
являются
независимыми при любых
и
.
Случайные величины
,
,
…,
(n≥2)
называются независимыми, если события
,
,
…,
независимы
в совокупности при любых возможных
значениях этих величин.
§3. Числовые характеристики дискретных случайных величин
Определение 1 Математическим
ожиданием дискретной случайной величины
называется сумма произведений всех ее
возможных значений на их вероятности
.
Для бесконечной случайной величины:
.
Математическое ожидание обладает следующими свойствами:
1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине:
M[C]=C, где С=const.
2. Числовой множитель можно выносить за знак математического ожидания:
M[CX]=C·M[X].
3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин Х и У равно произведению их математических ожиданий:
М[XY]= M[X] · M[Y].
Математическое ожидание суммы двух случайных величин Х и У равно сумме их математических ожиданий: М[X+Y]= M[X] + M[Y].
Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю:
М(X-M[X])=0.
Математическое ожидание любой случайной величины Х представляет собой среднее арифметическое всех возможных значений этой величины.
Определение 2. Дисперсией дискретной случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения значений величины от ее математического ожидания:
.
Характеристиками рассеивания возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднеквадратичное отклонение.
Среднеквадратичным отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:
.
Дисперсия обладает следующими свойствами.
1. Дисперсия константы равна нулю: D[C]=0, где С=const.
2. При увеличении случайной величины в С раз ее дисперсия увеличится в C2 раз: D[CX]=C2·D[X].
3. Дисперсия суммы (разности) двух независимых случайных величин Х и У равна сумме из дисперсий: D[X+Y]= D[X] + D[Y].
4. Дисперсия равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат ее математического ожидания: D[X]= M[X2] – (M[X])2.
§4. Основные законы распределения дискретных случайных величин.
1, Дискретная случайная величина Х имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения 0, 1, 2, …, n с вероятностями
m=0,1,…,n,
где q=1-p, 0
≤p≤1. – формула Бернулли.
Теорема1. Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:
=n
p.
Теорема 2. Дисперсия числа появления события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность p появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:
D[X]=npq.
Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m… с вероятностями:
(λ>0).
Теорема Пуассона. Закон распределения
Пуассона является предельным случаем
биномиального закона распределения
при
,
,
,
т.е. при всех m=0, 1, 2, …
при
.
(Так как вероятность p в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называют законом редких явлений).
Теоремой Пуассона можно пользоваться вместо формулы Бернулли, когда n большое число, p- малое и λ=np≤10.
Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, равно: = λ.
Дисперсия случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, равна:
D[X]= λ.