§6. Формула полной вероятности и формула Байеса
Теорема 1. Пусть
полная
группа событий из
.
Тогда для
события
имеет место формула, называемая формулой
вероятности:
.
Доказательство. Так как
и события
и
не пересекаются при
,
то
.
Пример 1. На продажу в магазин поступили однотипные изделия с двух заводов А и В. С завода А поступило 200 изделий, с завода В 800 изделий. При этом 50% изделий, доставленных с завода А, изготовлены в одном из цехов этого завода, 30% в другом и 20 % в третьем. Брак составляет соответственно 1,5%, 2% и 2,5%. Аналогично, 60% изделий, поступивших с завода В, изготовлено в одном цехе, а 40% - в другом. Брак составляет соответственно 1,5%, 2%. Какова вероятность того, что наугад выбранное изделие является дефектным?
Решение:
Обозначим
{выбранное
изделие принадлежит i-му
цеху завода В}, i=1, 2,
3.
{выбранное
изделие принадлежит j-му цеху завода
В}, j=1, 2.
События
,
,
,
,
образуют полную группу.
Следовательно,
,
где А ={выбранное изделие является дефектным}. Найдем вероятности, входящие в данную формулу.
;
;
;
;
.
;
;
;
;
.
Следовательно
.
Пример 2. Из колоды карт последовательно без возвращения вытаскивается 3 карты. Какова вероятность того, что 3-я карта будет тузом, если известно, что первая карта является тузом.
Обозначим
{вторая
карта туз},
{вторая
карта не туз}.
Тогда
.
;
;
;
.
Следовательно,
.
Теорема 2. Пусть образуют полную группу событий из . Тогда имеет место формула Байеса:
,
i=1,..,k.
Пример 1. Два стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу по общей мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, а для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку?
Обозначим {первый стрелок попадет в мишень }, {второй стрелок попадет в мишень}, А={в мишени будет обнаружена одна пробоина}.
Имеем,
.
Так как
,
то
Следовательно с учетом того, что
и
получаем
;
.
Пример 2.
Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру равна 0,6, к 2-му – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет призвана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым -0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.
Решение. Обозначим {деталь проверил первый контролер}, { деталь проверил второй контролер}, А={деталь признана стандартной}.
.
§ 7. Геометрическая вероятность
Пусть
-
некоторое множество на числовой прямой
(на плоскости или в пространстве), имеющее
конечную длину (площадь или объем)
.
Р
ассмотрим
все возможные подмножества
,
имеющие конечную длину (площадь или
объем). Ясно, такие подмножества образуют
алгебру событий. Введем на этой алгебре
вероятность по формуле
.
Эта вероятность носит название
геометрической вероятности и представляет
собой вероятность попадания брошенной
наугад точки в фигуру S
при условии, что эта точка обязательно
попадет в
.
Пример. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождение причала, если время стоянки обоих пароходов – 2 часа.
Решение. Пусть х и y время прихода
пароходов к причалу. Тогда встреча
состоится тогда и только тогда, когда
.
.