3.4.4 Оценка достоверности гипотез распределения

Для выполнения расчетов надёжности необходимо располагать достоверными сведениями о законах распределения анализируемых величин. Обычно имеющиеся данные такого рода не являются полными и достаточными. Более того, сведения о распределении наблюдаемых исследуемых случайных величин (характеристиках нагрузок, прочности, отказов и т.д.) также могут содержать элементы случайности.

Начальные суждения о распределении получают на основе статистических данных о случайных величинах (например, отказах). Эти данные корректируют с учетом поправок на систематическую погрешность и определяют среднее арифметическое уточненных результатов контрольных наблюдений. Далее оценивают их среднее квадратичное отклонение и проводят "сглаживание" статистических данных, отбрасывая резкие отклонения и сохраняя наиболее типичные свойства явления.

Согласование статистических зависимостей представляет собой задачу с неопределенностью, так как её решение будет зависеть от выбираемых и налагаемых условий, которые полагаются наилучшими. Например, можно получить эмпирическую зависимость для распределения на основе применения метода наименьших квадратов, то есть выбрать функцию, сумма квадратов отклонений которой от статистических значений будет минимальной.

Можно основываться на соображениях о физической природе рассматриваемых явлений. Если принимается нормальное, распределение, то очевидно необходимо, чтобы математическое ожидание т_х и дисперсия теоретического нормального распределения D_x соответствовали аналогичным

характеристикам т_х* и D_x* полученного статистического распределения. Для получения лучших соответствий целесообразно вычислять моменты более высоких порядков (метод Пирсона), но пользоваться моментами выше четвертого порядка нецелесообразно из-за резкого падения точности вычисления моментов по мере увеличения их 1юрядков. Считается вполне достаточным совпадение первых трех моментов.

После выбора закона распределения необходимо проверить его представительность. Пусть полученное статистическое распределение удалось выразить теоретической кривой f(x), имеющей отклонения от статистической зависимости. В этом случае важно оценить характер расхождений, которые могут быть обусловлены случайными факторами, ограниченным числом наблюдений или несоответствием выбранного теоретического распределения “действительному”. Для оценки соответствия используются критерий согласия, который наиболее часто используют в виде, предложенном A.Н. Колмогоровым. Метод основан на определении модуля разности между статистической F*(x) и F(x) теоретической зависимостями распределения (рис. 4.11)

Δ = max[F*(x)- F(x)]. (4.28)

Рис. 4.11. Сравнение функций F* (х) и F(x) и модуль разности между функциями.

А.Н. Колмогоров доказал, что при любой функции распределения F(x) непрерывной случайной величины n, и при неограниченном возраставши числа X независимых наблюдений вероятность неравенства

(4.29)

характеризуется пределом

. (4.29)

Значения функции Р(λ) могут быть найдены из таблицы [ ].

Применяют критерий Колмогорова следующим образом сравнивают статистическую функцию распределения F*(x) с предполагаемой теоретической функцией F(x) и определяют максимум Δ модуля разности между ними (рис.4. 11). Далее определяют величину и по таблице находят вероятность Р(λ). При малой вероятности гипотезу

(4.35)

Оценка точности и надежности оценок может быть точечной и интервальной. Точечная определяется одним значением, а интервальная - двумя, соответствующими концам принимаемого интервала. Отметим, что при небольших объёмах выборки целесообразное интервальная оценка.

Рассмотрим боже подробно интервальные оценки. Положим, что найденная по данным выборки статистическая характеристика θ* служит оценкой неизвестного параметра θ, соответствующего какому-то определенному числу. θ* тем точнее определяет параметр θ, чем меньше абсолютная величина разности | θ - θ *|. При некотором малом положительном числе δ требуется обеспечить | θ - θ *|< δ. Чем меньше δ, тем оценка точнее. Таким образом, положительное число d характеризует точность оценки.

Однако, статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка θ* удовлетворяет неравенству | θ - θ *|< δ. Можно говорить лишь о вероятности γ, с которой это неравенство осуществляется. Здесь γ =Р[| θ - θ *|< δ], последнее можно заменить равносильным двойным неравенством

Р[θ *- δ< θ< θ *+δ]= γ, (4.36)

согласно которому γ представляет собой вероятность того, что интервал (θ *- δ, θ *+ δ) заключает в себе параметр θ.

Доверительным называют интервал θ *- δ, θ *+ δ, который докрывает неизвестный параметр с заданной надежностью γ. Для примера определим доверительный интервал для оценки математического ожидания μ нормального распределения при известном среднем квадратическом отклонении σ.