39. Метод Гомори (метод отсеч-я)

Будем рассм следующую задачу ЦП

Max(min) F=∑ ⁿ_j=1c_ijx_ij (1)

∑ ⁿ_j=1c_ijx_ij =b_i ,i=1,m (2)

x_j≥0, j=1,n (3)

x_j- целый, j=1,n (4)

Алгоритм метода:

1.Решается задача (1)-(3),с отброшенным усл-м целочис-ти(4).

2.Если усл.целочисленности вып-ся по всем переменным,то оптимальн.решение з-чи(1)-(4) совпад-т с оптимальн.решением з-чи(1)-(3).Если же это усл.не выпол-ся хотя бы поодной перемен-й ,то переходим к шагу 3.Если з-ча(1)-(3)не разрешима,то и исходная з-ча не имеет реш-я.

3.Строится доп-ое ограничение,кот.отсекает часть ОДР,в кот.содерж-ся оптим-е решение з-чи (1)-(3) и не содер-ся ни одного допуст-го реш-я задачи(1)-(4)

4.Возвращ-ся к з-че с отброш-м условием целочисл-ти,но с расшир-й сис-мой осн-х ограничений.Добавляются огранич-я,построен-е на 3-ем шаге и вновь примен-ся симплексная процедура и т.д. Отличие выбора разрешающего элемента: Сначала рассм-ся строка,в кот содерж-ся отриц-е число в столбце свободн.членов и рассмат-ем все неотриц-е числа в этой строке. Выбираем люб.отрицат. число, кот и будет определять разрешающ. столбец. Для чисел с один-ми знаками в столбце свободн. членов и разреш столбце наход-ся симплекс-е отношения. Наименьш.симплексн.отнош и опред разреш-щую строку

41.Постр прав отсеч. Теорема о прав отсеч

Теорема. Рассмотрим i₀ –равенство(1):

x_i0= b_i0-∑_xj€спλ_i0jx_j (2);

b_i0=[ b_i0]+{ b_i0}

λ_i0j =[ λ_i0j]+{ λ_i0j } (3);

x_i0= ([b_i0]-∑_xj€сп[λ_i0j]xj )+ ([b_i0]-∑_xj€сп{λ_i0j}xj ) (4);

([b_i0]-∑_xj€сп{λ_i0j}xj≤0 (5);

Суть теоремы: Нер-во (5)опред-т правильное отсечение Гомори,т.е.:

Max(min) F=∑ ⁿ_j=1c_ijx_ij (1)

∑ ⁿ_j=1c_ijx_ij =b_i ,i=1,m (2)

x_j≥0, j=1,n (3)

x_j- целый, j=1,n (4)

1.Явл-ся линейным

2.Отсекает найденное оптимальное нецелочисл-е знач-е з-чи (1)-(3)

3.Не отсекает ни одного из целочис-х реш-ий з-чи (1)-(4).

Рассмотрим i₀ –равенство(1):

x_i0= b_i0-∑x_j€спλ_i0jx_j (2)

a=[a]_{цел.часть}+{a}_{дроб.ч-ть},где 0<{a}< 1

3,7=3+0,7

-4,1=-5 +0,9

Представим b_i0 и λ_i0j в виде суммы дробной и целой части:b_i0=[ b_i0]+{ b_i0}; λ_i0j =[ λ_i0j]+{ λ_i0j }(3)

Подставим (3) в (2), получим:x_i0= ([b_i0]-∑_xj€сп[λ_i0j]xj )+ ([b_i0}-∑_xj€сп{λ_i0j}xj ) (4)

Понятно,что 1-ая скобка-в сегда целое число.Для того,чтобы x_i0-было целым числом надо,чтобы величина L_i0={ b_i0}-∑_xj€сп{λ_i0j} xj _,тоже была целым числом.Покажем,что L_i0≤0.Предположим,что L_i0>0.По усл величина ∑_xj€сп{λi0j} xj не может быть отрицат.Т.к.дробные части 0<{λ_i0j}<1.По предложению следует,что дробная часть {b_i0}>1,а это противоречит определению дроб-ой части числа.След-но L_i0≤0Таким образом дополнит-ое огранич,кот.строит в пункте 3 алгоритма должно иметь вид: ([b_i0]-∑_xj€сп{λ_i0j}xj≤0 (5).

42.Метод ветвей и границ.

Для определённости будем рассчит з-чу нахожд макс ф-ции. Суть м-да заключ-ся в том,что сначала реш-ся з-ча без учёта целочис-сти.Если в полученном решении нек.переменные имеют дробные знач,то выбираем любую из дроб-х переменных и по ней строим 2-а ограничения.В первом ограничении величина переменной меньше или равна наименьшему целому числу,а во второй переменной ≥ целому числу +1.Таким образом исходная задача ветвится на 2 з-чи.Решаем каждую из подзадач и находим оптимальное решение.Если получ-е решения опять являются нецелыми,то дальнейшему ветвлению подлежит та ветвь,у которой значение ЦФ будет больше.Процесс решения сопровождается построением деревоветвл-ем.