50.Метод множ Ланг-жа реш задач нп.Эк смысл множ Ланг-жа

Рассм частный случай общ.з-чи

max(min)F=f (x_1, x_2,…, x_n)

φ_i (x_1, x_2,…, x_n)=b_{i, i=1,m}

для того,ч.найти ее реш-е сост-ем ф-цию Ланг-жа,безусловный экстр-м кот.совпад. с условным экстр-ом

L(x_1, x_2,…, x_n,λ_1, λ_2,…, λ_n )= f (x_1, x_2,…, x_n)+ (b_i- φ_i (x_1, x_2,…, x_n))

Для эт.ф-ции запи-ем необх-е усл-е экстр-ма

Решив посл-юю сист.,мы найдем все критич.точки,в кот.ф-ция может иметь экстремум знач-я. Затем с пом.достат.усл-й определяем точки экстремума ф-ции.

Алгоритм:1)сост-ем ф-цию Ланг-жа,2)нах-им част-е произв-е ф-ции Л-жа по всем перем-м и при=ваем их к0,3)реш-в сист.ур-ний,найдем стационар-е точки,т.е.точки,в кот.ЦФ мож.иметь экстр-м,4)среди стацион-х точек с примен-ем достат.усл-й нах-им те,в кот.ф-ция имеет экстср-мы

Экон.сод-ние множ-лей Л-жа λ_i:рассм-м прост-шую з-чу оптим-ции

max(min)F=f (x_1, x₂)

φ_i (x_1, x₂)=b.Предпол-м,что экстр-м достиг-ся в как.-то точке Х^*=(x₁^*_, x₂^*), F^*=f(x₁^*_, x₂^*).пусть координаты x₁^*_и x₂^*,а значит и F^*от знач-й прав.части b

x₁^*₌x₁^*(b), x₂^*₌x₂^*(b), F^*=f(x₁^*(b)_, x₂^*(b)).Найдем част.произв-еЦФ по x₁ и x₂ в завис-ти от b

(1)из осн-х огран-й след-т,что част.произв-я ф-ции φ

=1(2)в экстр-й точке вып-ся необх.усл-е экстр-ма и (3).Подставим в 1-ую 3,испол-я2 .для з-ч,у кот.кол-во огран-й=m,т.будет спрвед-ва ф-ла ,i=1,m

49

.Геометр.интерп-ция з-чиНП.Общ.з-чей НП наз-ся з-ча вида

max(min)F=f (x_1, x_2,…, x_n) (1)

φ_i (x_1, x_2,…, x_n) (2),в кот.либо ЦФ 1,либо огр-ния,либо те и др.нелин-е.В рез-те реш-я эт.з-чи буд.найдена т.Х^* такая,что для любой др.т-ки Х,коор-ты кот.также удовл-ют огран-ям з-чи и выпол-ся не=во

f(x^*)> f(x)(если з-ча на min,то f(x^*)< f(x)).В отлич.от з-чиЛП ОДР НПне всегда явл.выпуклой.Т.,в кот.достиг-ся экстр-м ф-ции мож.нах-ся как на границеОДР,так и внутри нее.Алгоритм граф.м-да:строимОДРз-чи,если она пуста,то з-ча не имеет реш-я,2)строим гиперпл-ть f(x_1, x_2,…, x_n)=h,3)опред-им гиперпл-ть наив.(наим.)ур-ня или опр-им неразд-ть з-чи из-за неогр-тиЦФ,4)нах-м т-куОДР,в кот.ЦФ достигает экстр-го знач-я и нах-м в ней знач-е ЦФ.

один-ми знаками в столбце свободн.членов и разреш-м столбце наход-ся симплекс-е отношения.Наименьш.симплексн.отношение и определяет разреш-щую строку

Вопрос 13

Основная теорема ЛП

Если ЗЛП имеет решение, то ЦФ достигает экстрем.знач хотя бы в одной из крайних точек многогр.решений.

Если же ЦФ достигает экстрем.знач более чем в одной крайней точке, явл-ся их выпуклой лин.комбинаций.

Док-во: Пусть Х^*-допуст.реш., для кот.ЦФ достигает своего max знач maxF=f(X^*),тогда

f(X^*) (1)

Если Х^* совп с одной из крайних точек, то перв часть теор док-на.

Предпол, что Х^* не явл.крайней точ, то перв многогр реш. Тогда Х^* можно в виде выпуклой линейной комбин точек Х₁, Х₂,…,Х_к:

В силу лин-ти f(X) имеем

f(X^*)= ₁f(X₁)+ ₂f(X₂)+ …+ f(X_k)

Обозн через М max знач ЦФ среди чсех крайних точек, т.е.

M=max(f(X₁), f(X₂),…,f(X_k)).

f(X*) ₁M+ ₂M+…+ _kM=M

Или f(X*) M (2)

Из нер-в 1 и 2 вывод f(X*)= M

Но М-знач ЦФ в одной из крайн точек, поэтому Х^*совп с одн из них.

Допуст, что f(X)достиг макс знач более чем в одн точке

f(X₁)=f(X₂)= …=f(X_р)=M

Х= , i 0,(i= ,

f(X)= 1f(X1)+ 2f(X2)+…+ _pf(X_p)= 1M+ 2M+…+ _pM=M,

т.е лин ф-я F приним макс знач в произв точке Х, явл-ся выпукл лин комбин-ей точек Х1,Х2,…,Хр, в которой ЦФ F принимает макс знач

₎