21.Двойст и прям зад-ча

Рассм задачу ЛП вида:

max F=c1x1+c2x2+…+cnxn

а₁₁ х₁ +а₁₂х₂+…+а_1nх_n≤ b₁

а₂₁х₁+а₂₂х₂+…+а_2nх_n≤ b₂

_……..

a_m1х₁+а_m2х₂+…+а_mnх_n≤ b_m

Xj 0 j=1.n₁

двойс к данной задаче назыв-ся задача

min =b₁y₁+b₂y₂+…+b_my_m

а₁₁y₁+а₂₁y₂+…+а_m1y_m≥ c₁

а₂₁y₁+а₂₂ y₂+…+а_2ny_n≥ c₂

_{……………/}

a_1ny₁+а_2ny₂+…+а_mny_n= c_n/ ;yi 0 ;i=1,m_1; yi-любого знака

Правила постр двойств. задачи: 1) Если в прямой задаче ЦФ на мах, то в двойств. будет на мин. И наоборот. 2)Число перем исход задачи = числу основн огранич двойств. задачи и наоборот. 3) Коэфф. При неизв в ЦФ двойств. задачи явл-ся свободн чл прям задачи и наоборот. 4)Матрица, сост-я из коэфф. при неизв в системе осн огранич прям задачи и аналогичная матрица двойств задачи получ-ся друг из д транспонированием.. 5) Если перем прям задачи , то соот-щее огранич в системе основ огранич двойств. задачи явл-ся нерав-во, а если переменная прям задачи может приним любые знач, то соотв огранич явл-ся уравнением.

22.Теория двойст. Эк сдерж

Рассм пару симм-ых двойств задач:

Max F = ,(1)

Теорема: для любых допуст планов Х=(х_1,х_2…….х_n) и У=(у₁,у₂,…..у_m) прям и двойств задач справедливо нерав-во F(x) (y) т. е.

(7)

Доказ: учитывая неравенства 2 и 5, получаем:

F(x)= =

Эк. содерж: Для любого допуст плана произв-ва Х и любого допуст-го вектора оценок рес-ов У общсозданная стоим-ть не превосходит сумм оценке рес-сов.

23Критерий оптим-ти Канторовича

Теорема. Если для некот допус-ых планов Х^* и У^* пары дв-ных задач выполняется рав-во F(X^*)=α(Y^*),то Х^* и У*- оптим-ые планы соотв-но. Доказ-во: согласно осн-му нер-ву теорем дв-ти для любого допус-го плана Х прям задачи и любого допуст плана У* дв-ной задачи выпол-ся нер-во F(X)≤ φ (Y*),но по условию теоремы F(X^*)= φ (Y^*).В силу транзитивности отнош«≤» и (=) имеем F(X)≤F(X*),но т.к. Х-произв-ый допуст план, то тогда F(X*)=maxF.Значит, Х*-оптим. план прям задачи. Аналогично доказ-ся, что У* явл-ся оптим для дв-ной задачи. Эк. содержание: план произв-ва Х* и вектор оценок рес-ов У* явл-ся оптим тогда, когда цена всей произве-ой продукции и сумм оценка рес-ов совпадает.

24. Перв теорема двойств и ее эк содерж. Теорема: Если 1 из пары двойст задач имеет оптим реш, то другая имеет оптим решение, причем экстрем знач ЦФ совпад: F (X*)=φ(Y*). Если одна из пары дв-х задач неразреш вследствие неогранич-ти ЦФ на множ. доп-х реш, то система огранич другой задачи противоречива.

Док-во:

махF =c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n

a₁₁x₁+a₁₂ x₂+…+a_1nx_n ≤ b₁+ x_n+1 a_m1x₁+a_m2x₂+…a_mnx_n≤ b +x_n+m

x_j≥0, j=1,n

minφ= b₁y₁+ b₂y₂+…+ b_my_m

a₁₁y₁+a₂₁ y₂+…+a_m1y_m ≥c_{1 -} y_m+1

a_1ny₁+a_2ny₂+…a_mny_n≥c_m - y_n+m

y_i≥0, i=1,m

Введ дополн-х неотриц-х перем х_n+1 >=0,i=1,m прям задачу сведем к кононич-ой форме записи. Аналог-о введ дополн-х неотриц-х перем y_m+j >=0,j=1,n,двойств задачу также можно свести к конон-му виду. Соответствие м. перем.дв-х задач: x₁ x_{2 …}x_n - y_m+1, y_m+2,…, y_m+n-СП, x_n+1, x_n+2,…, x_n+M - y_1, y_2,…,y_m – БП. Реш двойств задачи нах. в индексной строке посл. симпл. табл, содер. оптим. план прям задачи. Эк содерж: если разреш задача опред-ия оптим-го плана максим-го выпуск прод-ии, то разр-ма и задача опр-ия оценок ресурсов. Причем цена пр-ва прод-ии и сумм-ая оценка сов-т.

26. теорема об оценках.Теорема: двойств-е оценки показ-ют приращение ЦФ, вызванное измен-ем св. члена соотв. ограни. ∂F(X*)/∂b_i=y*, i=1,m. (1). Эк. содерж-е: для этого в выраж-ии (1) дифференциалы заменим приращениями, т.е. ∂b_i≈∆b_i, ∂z(x*)≈∆z(x*). Получим ∆z(x*)=у_i*∆b_i; при ∆b_i=1 имеем ∆z(x*)≈y_i*. Отсюда двойств оценка числ-но равна измен-ю ЦФ при измен-ии соотв-го рес-са на ед-цу. Двойств оценки у_i часто наз-ют скрытыми, теневыми или маргинальными оценками рес-сов.

25. теор о недоп-ей нежесткости и ее эк сод-ие. Теорема: для того, чтобы планы Х*, У* пары двойст-х задач были оптим-ми необх и достат вып-ие след-х усл-ий: х_j*(∑а_ijy_i*- с_j)=0, j=1,n (1), y_i*(∑а_ijx_i*- b_i)=0, i=1,m (2). Док-во: необход-ть махF =∑c_jx_j, ∑а_ijx_i*= b_i, i=1,m, x_j≥0, j=1,n.(3) minφ= ∑b_iy_i ∑а_ijy_i* ≥с_j, j=1,n y_i≥0, i=1,m. F (X*)=φ(Y*)т.е∑c_jx_j,* = ∑b_iy_i *(4). Подставим в 4 b_i из 3: ∑c_jx_j,* =(∑а_ijx_i*) y_i*= ∑х_j*∑а_ijy_i*→ ∑х_j*(∑а_ijy_i*- с_j)=0 (5). Т.к х_j*≥0, и ∑а_ijy_i*- с_j ≥0, j=1,n. След-но из рав-ва 5 след-т условие 1, усл 2 док-ся аналогично. Достат-ть: ∑х_j*(∑а_ijy_i*- с_j)= ∑х_j*∑а_ijy_i*-∑c_jx_j,*= ∑y_i*∑а_ijx_i* - ∑c_jx_j,*= ∑b_iy_i *- ∑c_jx_j,*→ F (X*)=φ(Y*). Эк содерж: Двойствоценки могут служ мерой дефицитности ресурсов (ДР).ДР, т.е ресурс по опт-му плану пр-ва исп-ся полностью имеет полож-ю оценку, а избыт-й имеет нулевую оценку.