Построение моделей элементов сложных систем (конечные автоматы)
Конечный автомат по своей сути может рассматриваться как частный случай динамической системы, представленной через пространство состояний, когда время дискретно и множество возможных состояний конечно. При этом традиционно конечный автомат представляется в рекурсивной форме, являющейся формальной аналогией дифференциальной формы для непрерывных динамических систем:
где t - дискретное время t =…-1, 0, 1, …
Конечный автомат может быть представлен в двух вариантах: в виде автомата Мили и в виде автомата Мура. Они отличаются только устройством функции выхода (у автомата Мура она зависит только от состояния). С точки зрения внешнего поведения (по входам и выходам) оба варианта эквивалентны, только автомат Мура может потребовать большего числа внутренних состояний, зато его функция проще - зависит только от одного аргумента вместо двух.
В случае дискретного времени дифференциальная (разностная) форма функции переходов удобна не только для представления, но и для реализации. Связано это с тем, что для каждого значения дискретного времени t можно точно указать его предшественника t-1 и последующего за ним значения t+1. На континууме значений непрерывного времени этого сделать нельзя. Именно эта особенность выгодно отличает случай дискретного времени.
Синтез конечного автомата состоит в выборе минимального количества внутренних состояний и такого их кодирования (обычно в двоичном алфавите), чтобы комбинационные булевы функции φ(•,•) и ψ(•,•) имели наименьшую сложность реализации в заданном базисе исходных элементов. Аналогом непрерывных линейных динамических систем являются линейные над конечным полем чисел конечные автоматы, которые принято называть "линейные последовательностные машины". Линейные последовательностные машины нашли широкое применение в области помехоустойчивого кодирования в качестве основы для кодирующих и декодирующих дискретных устройств.
Представление в виде конечных автоматов целесообразно для дискретно‑конечных задач, когда и время и множество возможных событий конечны. Следует отметить, что конечный автомат может быть реализован в виде алгоритма и соответствующей компьютерной программы без всяких погрешностей - абсолютно точно. Более того, сам компьютер есть ни что иное как конечный автомат, правда с большим числом внутренних состояний и размерностью входных и выходных переменных.
Построение моделей элементов сложных систем (вероятностные автоматы)
Имеются случаи, когда нужно отразить вероятностный характер зависимости следствия (выхода) от причины (входа). Если при этом множества входов, выходов и внутренних состояний - конечны, то удобной моделью для этого может служить вероятностный автомат.
Вероятностный
автомат можно рассматривать как обобщение
обычного дискретного автомата. Он также
включает в себя множество входов,
множество выходов и множество внутренних
состояний. Однако вместо жестких правил,
задающих новое внутреннее состояние
(функция переходов) и выходной символ
(функция выходов), задается функция
,
которая интерпретируется как условная
вероятность того, что вероятностный
автомат, получив на вход символ x,
находясь в состоянии a,
перейдет в новое состояние
и выдаст на выходе символ y.
Для конечного вероятностного существует
удобное матричное представление. В
отличие от обычного автомат, в вероятностном
вместо конкретного нового состояния и
конкретного нового выходного символа
задается распределение вероятностей,
в соответствии с которым и вырабатываются
(генерируются с помощью генераторов
случайных событий) и новое состояние и
новый выходной символ. Таким образом,
у вероятностного автомат нельзя заранее
предсказать сами состояния и выходы,
но можно предсказать вероятности тех
или иных состояний и выходов.
Интересно, что обычный автомат может рассматриваться как специальный случай вероятностного, когда его матрицы вероятностей в каждой строке и в каждом столбце содержат только по одной единице, а остальные элементы - нули.