8. Построение моделей элементов сложных систем (системы массового обслуживания)

Характерной особенностью задач, представимых в виде системы обслуживания, является наличие обслуживающей системы, к которой в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание. Обслуживающая система имеет линии (каналы), выполняющие совокупность операций, подразумеваемых под словом "обслуживание".

Типичным примером системы массового обслуживания может служить телефонная связь. В качестве других типичных примеров областей применимости теории массового обслуживания можно привести диспетчерские функции в торговле, на транспорте, в различных аварийных службах (пожарная, скорая помощь) и т.п.

В области проектирования измерительных систем модель системы массового обслуживания может использоваться для представления процессов в многоканальных системах с нерегулярной дискретизации .

Теория систем массового обслуживания изучает систему массового обслуживания (СМО) как отвлеченный математический объект, включающий в себя:

- модель потока заявок;

- модель функционирования совокупности обслуживающих каналов.

Модель потока заявок

Рассмотрим более простой поток однородных, то есть независимых друг от друга, заявок. Каждая заявка характеризуется моментом поступления в систему, а поток - последовательностью моментов поступления заявок t₁, t₂,…t_k. Удобнее моменты поступления заявок задавать интервалами ξ_i, причем (см.  Рис. 6 .9)

t₁ = ξ₁;

t₂ = ξ₁ + ξ₂; Рис. 6.9. Поток заявок на оси времени

t₃ = ξ₁ + ξ₂ + ξ₃;

…

t_k = ξ₁ + ξ₂ + … + ξ_k.

Поток заявок описывается совместной функцией вероятностей:

.

В случае непрерывного времени обычно переходят к функции плотности .

Для решения многих прикладных задач можно ограничиться частными случаями потоков, оперирование которыми оказывается более простым и доступным. В частности, большое значение имеют стационарные потоки, для которых вид функции вероятностей не зависит от времени. Если случайные величины ξ_i независимы, то такой поток называется потоком с ограниченным последействием. Для таких потоков аналитическое решение многих задач сильно упрощается, поскольку в этом случае

.

Если же поток с ограниченным последействием, к тому же, еще и стационарен, то его описание еще более упрощается, поскольку в этом случае выполняется соотношение ( в нем не участвует!)

.

В этом случае математические ожидания μ_i случайных величин ξ_i (при i > 1) одинаковы и имеют смысл средней длины интервала между последовательными заявками. Величина

имеет смысл среднего количества заявок, поступающих в единицу времени и носит название интенсивности потока.

Наиболее простые аналитические решения задач теории массового обслуживания получены для так называемого простейшего (Пуассоновского) потока с распределением

.

Именно такая модель используется, например, в теории надежности для представления внезапных отказов в системе.