8. Реализация времени в компьютерных моделях (методы фиксированного и переменного шага).

Модель всей системы обычно представляется в виде структурной схемы, состоящей из модулей (моделей компонентов) и информационных связей (стрелок). С каждой стрелкой ассоциируется некоторая переменная, которая может принимать те или иные значения. Значение переменной присваивается в том модуле, из которого выходит связанная с ней стрелка. То есть для каждой переменной есть единственный модуль, в котором она генерируется или вырабатывается. Значение переменной может использоваться во многих модулях, а именно в тех, куда направлена соответствующая входящая стрелка.

Для динамических моделей одна переменная – время – является выделенной переменной, поскольку она используется во всех остальных модулях. Для ее реализации должен быть специальный модуль, который генерирует и подает в нужном формате во все остальные модули значение системного (моделируемого, модельного) времени t_M (modeling time). Процесс моделирования также осуществляется во времени, но это уже другое время, назовем его временем прогона t_R (run time).

Существуют два основных метода представления модельного времени:

МФШ – метод фиксированного шага;

МПШ – метод переменного шага.

МФШ – в этом случае временные метки (или значения времени в какой-то шкале, чаще в равномерной), соответствующие заранее определенным моментам времени, выдаются с помощью специального модуля – генератора времени – и распространяются по всем остальным динамическим модулям модели. При этом метки времени выдаются независимо от того, происходят или не происходят заданные события в модели.

Достоинства МФШ:

1) простота реализации механизма времени в модели;

2) простота синхронизации прогона разных модулей.

Недостатки МФШ:

1) требуется априорно решать задачу выбора временного шага Δt;

2) возможна потеря существенной информации при большом Δt;

3) возможно качественное ухудшение модели (потеря устойчивости, сходимости, возникновение неадекватных эффектов и т.п.).

МПШ – здесь значения переменной t_M (модельное время) вырабатывается одним из модулей в качестве выходной величины на основании величин, получаемых в ходе моделирования в других модулях. То есть в данном случае время есть зависимая величина. При этом временные метки выдаются только для тех моментов модельного времени, когда в модели происходят заданные существенные события.

Достоинства МПШ:

1) экономится память и процессорное время при моделировании существенно нерегулярных событий;

2) не требуется решать задачу априорного выбора шага Δt;

3) сохраняется инвариантность причинно-следственных связей в объекте и в модели.

Недостатки МПШ:

1) нужно уметь находить время наступления очередного события в процессе моделирования (то есть нужен алгоритм генерирования величины отрезка времени до следующего события);

2) применим в чистом виде только для моделирования систем с дискретными событиями.

8. Компьютерное моделирование с помощью метода статистических испытаний (метод «Монте-Карло»).

Метод статистических испытаний, или метод Монте‑Карло (ММК) есть, по сути, общее название целого семейства численных методов и методов компьютерного моделирования на основе многократного разыгрывания некоторой случайной величины с последующей статистической обработкой результатов серии исходов многократных испытаний.

Рис. 5.2. Общая схема статистических испытаний (i - номер испытания, N - количество испытаний)

Общая схема метода статистических испытаний (Рис. 5 .2) весьма проста и включает в себя три этапа:

• генерирование случайного числа x_i с заданным распределением p(x);

• реализация некоторого процесса (алгоритма или функции f(x_i)), который по заданному на вход случайному числу x_i определяет соответствующий ему результат y_i;

• накопление выборки из N результатов {y₁, y₂,…, y_N} и получение на ее основе статистических оценок вероятностных характеристик случайной величины y.

Ассоциация метода статистических испытаний с названием Монте‑Карло² объясняется использованием "образа" игровой рулетки в качестве наиболее популярного примера генератора равномерно распределенных чисел. Многократно (N раз) повторяя этот процесс с разными реализациями x_i случайного числа и накапливая выборку как множество результатов (исходов) {y₁, y₂, …, y_N}, можно на основе стандартных статистических методов получить выборочные оценки интересующих вероятностных характеристик (математического ожидания, дисперсии, закона распределения, …), а значит и найти решение исходной детерминированной задачи.

Естественно, что найденное таким образом решение, как и любая статистическая оценка, будет приближенным. Его точность будет повышаться с ростом объема выборки пропорционально величине . Это довольно слабая скорость сходимости, характерная для всех статистических методов, что является основным недостатком метода Монте‑Карло. Так для увеличения точности в k раз нужно увеличить объем выборки в k² раз. Зачастую для одной и той же исходной детерминированной задачи можно "сконструировать" несколько эквивалентных (в вероятностном смысле) "азартных игр", отличающихся константой c в уточненной формуле для точности оценок: . Поэтому при использовании метода Монте‑Карло может стоять задача выбора наилучшего метода из целого семейства по критерию минимизации погрешности статистических оценок. При этом могут варьироваться:

а) закон распределения p(x) разыгрываемой случайной величины (конструкция "рулетки", способ перемешивания и раздачи "карт" или бросания "костей");

б) процесс получения результата y_i по заданной реализации x_i случайного числа (правила "азартной игры").