5. Переход к дискретным множествам для представления переменных (дискретизация по времени, квантование по уровню).

Многие измеряемые параметры являются по своей природе непрерывными аналоговыми величинами. При вводе в ЭВМ неизбежно приходится преобразовывать их в последовательность отсчетов, привязанных к конкретным моментам времени. Именно этот процесс мы и будем называть дискретизацией по времени. Почти всегда, кроме известных частных случаев, замена непрерывных сигналов дискретными приводит к необратимым потерям части исходной информации, что косвенно отражается некоторым увеличением совокупной погрешности конечного результата. Вычленение этого "увеличения" в виде отдельной составляющей погрешности, обусловленной дискретизацией, возможно только для простейших способов обработки, либо в виде очень грубых верхних оценок погрешностей при упрощенных методиках их суммирования.

Рис. 1. Схема определения погрешности при замене непрерывной модели дискретной

Общая схема корректного определения погрешности с учетом всех существенных факторов в этом случае показана на Рис. 1. В данном случае отображение множества непрерывных входов (действительных функций действительного аргумента) на множество цифровых входов (цифровых последовательностей) F_x представлено процедурами дискретизации по времени (с параметром Δt) и квантованием по уровню (с параметром Δx). Последовательное выполнение обратного отображения множества цифровых выходов на множество непрерывных выходов F_y и функции выбора Choce( ) представлено процедурой приписывания каждой выходной цифровой последовательности некоторой непрерывной функции в множестве непрерывных выходов.

В зависимости от того, какая априорная информация о входном сигнале известна и принимается к сведению, какая метрика (функция расстояния в пространстве выходных сигналов) используется для оценки погрешности, а также в каких терминах осуществляется описание постановки и решения задачи обработки сигналов (или моделирования), можно выделить три основных направления или подхода, в рамках которых традиционно рассматривается вопрос о погрешности временной дискретизации:

– использование динамических свойств  сигналов (модель сигнала с ограниченными производными, подмножество входных сигналов ограничено предельными значениями производных M_n, аппроксимация решения степенными полиномами, максимальная оценка погрешности);

– использование частотных свойств сигналов (модель сигнала с финитным спектром, подмножество входных сигналов ограничено сигналами с шириной спектра ΔF, описание обработки в терминах фильтрации и линейных динамических систем, энергетическая оценка погрешности);

– использование статистических свойств сигналов (модель сигнала в виде стационарного случайного процесса с известной автокорреляционной функцией, подмножество входных сигналов ограничено интервалом корреляции Δτ, статистическая аппроксимация временных рядов, среднеквадратическая оценка погрешности).

Все три направления имеют глубинные взаимосвязи друг с другом, однако полностью друг к другу не сводятся. Важно только помнить, что каждый подход задает свою систему понятий и следует четко понимать границы их применимости.