35. Остывание пластины

Смоделируйте процесс выравнивания температуры в металлической квадратной пластине. Процесс распространения тепла в пластине описывается уравнением теплопроводности, которое в двумерном случае на плоскости (x,y) имеет вид

.

Здесь T – температура,  - коэффициент теплопроводности. Задачу можно решать с использованием разностной аппроксимации этого уравнения. Пусть площадь пластины разбита квадратной сеткой с узлами (x_i,y_j), i = 0,…,n; j = 0,…,n. Расстояния между соседними узлами обозначим через h. Простейшей разностной схемой для этого уравнения является явная схема:

,

где  - шаг по времени, T_i,j^k – значение температуры в узле (i,j) на к-ом временном шаге.

Эта схема устойчива при выполнении условия 4/h² < 1.

Смоделируйте процесс выравнивания температуры в пластине в случае, когда центральная часть пластины площадью в 1% имеет постоянную температуру 100 C, а оставшаяся часть пластины имеет начальную температуру 0 С. На границе квадрата поддерживается постоянная температура, равная 0 С.

36. Ядерный реактор

Рассмотрите работу гомогенного уранового ядерного реактора с использованием метода Монте-Карло (метод статистического моделирования) [9]. Реактор представьте в виде квадрата с заданной стороной a. В начальный момент в реакторе находится несколько десятков нейтронов. Стенки реактора поглощают нейтроны.

Средняя длина свободного пробега нейтрона до взаимодействия с каким-нибудь ядром равна  = 1.7 см. При взаимодействии нейтрона с ядром возможно с вероятностью 0.9632 - изотропное рассеяние нейтрона; с вероятностью 0.0152 - поглощение нейтрона без деления ядра; с вероятностью 0.0216 – поглощение нейтрона с делением ядра урана. При делении ядра урана в среднем вылетает 2.47 нейтрона.

Для упрощения задачи можно считать, что нейтроны до взаимодействия с каким-нибудь ядром пробегают одинаковое расстояние . Принять, что если число нейтронов в реакторе становится больше 500, то реактор взрывается. Если же число нейтронов станет равным нулю, то реактор гаснет.

Постройте график зависимости числа нейтронов в реакторе от времени при заданном размере реактора a. Оцените критический размер реактора a_кр.

Рассмотрите реактор в форме круга радиуса a/2. Оцените для него критический размер.

Рассмотрите влияние на работу реактора поглощающих стержней (моделируемых в форме кружочков), помещаемых внутрь реактора.