Пример выполнения задания

Название задания – “Движение тела в поле тяжести Земли”.

Формулировка задания

Смоделировать падение тела в поле тяжести Земли с учетом сопротивления воздуха.

Тело бросается с высоты H с начальной скоростью v₀, направленной под углом ₀ к горизонту. Помимо силы тяжести на тело действует сила сопротивления воздуха, имеющая вид F_c = kSv², где k – некоторый численный коэффициент, зависящий, в частности, от формы тела и качества обработки его поверхности,  - плотность воздуха, S - площадь сечения тела, v - скорость тела. Ускорение свободного падения g = 9.81 м/c².

1. Для примера рассмотрите полет ядра, используя следующие значения параметров: m = 7 кг, S = 0.01 м², H = 2 м, v₀ = 30 м/c,  = 1.18 кг/м³.

2. Выберите шаги h для метода Эйлера и для модифицированного метода Эйлера, решив задачу без учета сопротивления среды (k = 0).

3. Расстояние, на которое улетит тело по горизонтали без учета сопротивления среды определяется формулой

.

Максимум дальности полета достигается при угле бросания  = 45. Исследуйте влияние сопротивления среды на дальность полета ядра и на оптимальный угол бросания. Для этого проведите серию расчетов без учета и с учетом сопротивления среды при различных углах бросания, задав коэффициент сопротивления k = 0.1.

4. Исследуйте влияние попутного и встречного ветра, направленного вдоль оси x, на дальность полета ядра и на оптимальный угол бросания.

Физическая модель

Тело имеет массу m и движется под действием двух сил: силы тяжести mg, направленной вертикально вниз, и силы сопротивления воздуха F_c, направленной в сторону противоположную скорости. Предполагаем, что начальная скорость тела достаточно мала, чтобы можно было пренебречь изменением величин g и  при перемещении тела. Ускорение тела находится из второго закона Ньютона.

Математическая модель

Пусть ось x направлена горизонтально в направлении броска, а ось y - вертикально вверх. Поскольку обе силы, действующие на тело, лежат в плоскости (x,y), то траектория тела также будет лежать в этой плоскости. Используя второй закон Ньютона, получаем систему из четырех дифференциальных уравнений:

Тело бросают в момент времени t = 0 с начальными условиями

Численный алгоритм

Для нахождения решения полученной системы дифференциальных уравнений используем метод Эйлера с постоянным шагом по времени t. Получаем систему разностных уравнений:

Визуализация результатов расчетов

Разделим экран на четыре окна. В первом окне будем изображать траекторию движения тела y(x), в остальных окнах построим графики зависимостей от времени y(t), v(t) и полной механической энергии тела

В качестве теста используем вариант с отсутствием силы сопротивления воздуха. В этом случае механическая энергия в точной постановке задачи сохраняется.

Для большей наглядности при исследовании зависимости движения от параметров результаты расчетов, полученные для разных значений параметров, отображаются одновременно на экране разными цветами.

При создании проекта необходимо рассмотреть следующие пункты:

1. Формулировка задания

2. Физическая модель

3. Математическая модель

4. Численный алгоритм

5. Компьютерное моделирование

6. Визуализация результатов расчетов

7. Интерпретация результатов

В формулировке задания необходимо отразить содержание задачи в целом.

1,2,3,4,7 – должны содержаться в отчете о разработке проекта.